太极图的问题
AB两点之间的曲线可以将太极图分成大小一样的四部分。
洛依德谜题
右面的这幅图就是17世纪波斯人画的“四马图”。你能找出这四匹马吗？如果你能找到图中的四匹马，那么本题的答案也就很容易想到了。
羊、狼和白菜
由于山羊怕狼，羊会吃菜，所以先由山羊开始解决，问题就简单了。步骤如下：
1．先带山羊到对岸，只有农夫回来；
2．再把狼带到对岸，把山羊带回来；
3．把菜带到对岸，农夫回来；
4．最后把山羊带到对岸。
这道题非常有名，由此衍生的趣题也很多。而且这种“渡河问题”出现的人物越多，玩法就越复杂，难度也就越大。
在这里，我们再出一道题作为对此题的扩展，思路是一样的，不过方法可能就要复杂许多。我们不给出答案，答案就靠你自己去思考了。
有四个小伙子各自带着自己的未婚妻去郊游。半路上他们遇到一条河。在岸边他们找到一条小船，但是这条船只能装两个人。河中间有一个小岛。这四个小伙子都很爱吃醋，如果自己不在未婚妻的身边，让自己的未婚妻单独同另外一个小伙子（或几个小伙子）在一起，哪怕只待一会儿，他们都不同意。
请找出最好的办法，尽快使这四对恋人过河。假设这条河有200米宽，小岛在河道的中间，岛上可容纳所有的人。那么，根据现有的条件，用小船运多少次可以把四对恋人渡过河？
幻方
图1是幻方的一种答案。
怎样填出这个3×3方阵呢？杨辉对此有四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”
事实上，你只要这样想：l＋2＋3＋…＋9＝45，45÷3＝15，即每行、每列、每条对角线3个数的和一定是15。由1＋9＝10，2＋8＝10，3＋7＝10，4＋6＝10，还剩一个5。因此可以把5放在中间，然后逐次填出其他位置上的数就可以了。
是反幻方的一种答案。
无论是幻方还是反幻方都还有其他的填写方法，5是否居中是决定幻方与反幻方的一个关键点。
写给太空人的信
据说，四阶幻方的填法共有880种之多，这里给出的是其中两个答案。
残忍的古罗马皇帝
数学家们一直试图找出这个问题的求解公式，但却被困扰了几个世纪。而目前的解决办法也只有尝试法了。在36个人中，应该把这6个人分别放在4、10、15、20、26和30的位置上。
这个世界纷繁复杂，远远超出我们的想象，不是所有的问题全都有一个明显的答案。在人们试图找到某个事件背后的规律而屡受挫折时，不要忘了，不断地尝试也是一种重要的方法。
鸡兔同笼
（一）
鸡两脚，兔四脚，若36只全是鸡，则少了14双脚。当一只兔子被当做鸡算时就少了一对，所以兔子应是14只，鸡应是36－14＝22只。
答案是：22只鸡，14只兔。
（二）
因为鸡兔只数相等，则把鸡和兔编成组，使每组各有一只鸡和一只兔。这样，每一组共6只脚，一共90只脚，应有90÷6＝15组。所以，分别有15只鸡和15只兔。
答案是：15只鸡，15只兔。
四巧板
四巧板难以拼成“T”字形的原因是心理上的错觉造成的。
一般人看东西，心理上都有一种先入为主的错觉。就是说，人们第一眼看到的东西，往往根深蒂固，印象特别深，有时达到难以改变的地步。
这四块板中，人们首先注意到的总是那块最大的五边形，而且往往认定这块板在拼图时，不是平放就是直放，决不会想到斜放。但情况却恰恰相反，不斜放就拼不出T字来。心理学家正是利用这一点来测验人们的错觉的。所以这个游戏对克服错觉、发展思维能力有一定的帮助。
消失的七巧板
基督徒与异教徒
做这个游戏时可以用扑克牌玩，用15张红牌、15张黑牌即可。题目要求将扑克牌排成一个圆圈，然后一圈一圈地反复点数。每当数到第13张牌时就将它抽出来，要求被抽出的全都是黑牌，直到一共抽出15张牌为止。现在把剩下的牌统统换成红牌，而将中间的空白位置填上黑牌——问题即告解决！
毛拉德巴斯的故事
我们设苹果的总数为x个，那么，给了第一个守门人■个；第二个守门人■个；第三个守门人■个；最后一个守门人■个，剩下的也是■个。而■＝10，故x＝160。
这个女人共摘了160个苹果。
也可以反过来考虑，即从第四个守门人开始考虑，也是十分有趣的。
即：x＝｛（20×2）×2｝×2＝160
割草
这个题目若用一般算术方法来解，则需要有一定的技巧。
设共x人，则割完两片地需x＋1个工作日时，其中大片草地需■（x＋1）个工作日时，实际上全体割草人在大片地上割了半天，用■x个工作日，一半人又在大片地割半天，用■x个工作日，故可列方程：■（x＋1）＝■x＋■x
解得x＝8。
但有趣的是，这个题目如果利用图形来解，就会清楚得多、简明得多。托尔斯泰画了一张草图，他解释道：
“由于大的一片草地需要全组割草人割半天以后，再由一半割草人割半天，那么很显然，一半割草人半天时间可割这块地的■。因此小片地上留下的没割的一块是大片地的■－■＝■。
这样，一个割草人每天能割大片草地的■。而当天割草一共割了大片地的1＋■＝■倍，所以割草人共8名。”
相对于上面烦琐的计算，这种图解法也许是更简单的解法。
两鼠穿垣
本题实际上是行程问题中的相遇问题。我们把尺化成寸来计算，即墙厚50寸。那么两鼠每天的进度如下：
可知两天两鼠共打进45寸，再打5寸即可相遇。而打5寸不需要第三天的一整天，只需要：
5÷（10×2×2+10÷2÷2）＝■
于是可得，两鼠需要2+■＝2■（日）。
相遇时，大鼠打进了10+10×2+10×2×2×■＝34■（寸）。
小鼠打进了10+10÷2+10÷2÷2×■＝15■（寸）。
物不知数
本题解法较多，下面介绍两种方法。
第一种方法：先寻找“用3除余2”的自然数，有：5，8，11，14，17，20，23，26，…，128，…
再寻找“用5除余3”的自然数，有：8，13，18，23，28，…，128，…
再寻找“用7除余2”的自然数，有：9，16，23，30，37，…，128，…
于是发现，符合题意的自然数有：23，128，…
其中最小的一个是23，就是本题的答案。
第二种方法：由条件可知，这个数除以3和7都余2，就有23－2＝21，21能被3和7整除。
而23被5除，余数正好是3。所以所求的最小自然数是23。
我国古代对解这类问题编了这样的歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，
除百零五便得知。
意思是：一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止。这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
爱因斯坦对剩余定理也很感兴趣，曾研究并计算过如下的一道题：一条长长的楼梯，若每次跨两阶，最后剩1阶；每次跨3阶，最后剩两阶；每次跨4阶，最后剩3阶；每次跨5阶，最后剩4阶；每次跨6阶，最后剩5阶；每次跨7阶，恰好到梯顶。问这条楼梯最少是多少阶？
当你解答出前面的“物不知数”这道题后，解答本题就没有什么困难了。
李白买酒
由题意可知，李白是先遇店，后见花的，且第三次见花前，壶内只有一斗酒，那么，遇店前壶内应有半斗酒（■斗酒）。依次类推，第二次见花前壶内有酒（■＋1）斗，第二次遇店前壶内有酒（■＋1）÷2＝■（斗）；第一次见花前壶内有酒（■＋1）斗，第一次遇店前壶内有酒（■＋1）÷2＝■（斗）。即原来壶中有酒■斗。
这实际上是一个还原问题，如果我们从最后的0开始，逐步向前推，见减做加，见乘做除，并注意添上括号，就可列出如下算式，算出结果。
｛［（0+1）÷2+1］÷2+1｝÷2＝■（斗）。
诸葛摆棋
走五星棋有个秘诀，这个秘诀叫尾追法，就是把头一次作为起点的交点，当做下一次的终点。依此类推，就可以成功。下面的是每一步的走法。空心圆圈代表起点，实心点代表终点。
第一步，以4为起点，下第1颗棋子到7；
第二步，以1为起点，下第2颗棋子到4；
……
按照这种方法走，到第九步就以10为起点在3上下完最后1颗棋子。最后第10号交点空着，棋就下成了。如果不按这个规律去玩，恐怕难以成功。
骰子路线
转动路线如下：
米勒智断项链
米勒将项链的第7、11环切开，这样，23环项链断成5段，分别为1环、1环、3环、6环、12环。
米勒第一天付1环；第二天再付1环；第三天付3环的1段，找回两个1环；第四、五天各再付1环；第六天付6环的1段，找回3环一段和两个1环的；第七、八天再各付1环；第九天再付3环的1段，找回两个1环；第十、十一天各付1环；第十二天付出12环的一段，找回以前共11个环；第十三天开始，仍按以上方法逐天支付，到第二十三天正好付出23个环。
钻石窃贼
由贵妇人的点数方式我们可以看出，每一次点数都要从上端开始，因此，首饰匠只要在水平一排的两端各偷走一颗钻石，再把底下的一颗钻石移到顶上，即可使其奸计得逞，骗过愚蠢的贵夫人。
井底之蜗
是3■天。有人以为“白天升七尺，夜里降二尺”，一昼夜实际上升5尺，从20÷5＝4，应该得到四天四夜爬上来20尺的结果，怎么三天多些就出来了呢？他忽略了一个细节。昼升7尺、夜降2尺，要在白天没有爬到顶的情况下，夜里才有机会往下掉。蜗牛三天三夜实际上升15尺，第四天清晨离井口只剩5尺，天黑以前就能爬出井来，再也不会沿着井的内壁往下掉了。
才女分果
旁边一位复姓司徒的说，这是盈不足算法，极其容易。用8个和7个相减，差是1个，作为除数；用多出来的1个和不足的16个相加，共17个，作为被除数。在这笔账里，除数是1，不需除，17就是人数。用17乘7个，得119个，加上多余的1个，是120个。答案是17个人，分120个果。熙春听后，对司徒大为钦佩，说：“向来算法有筹算、笔算、珠算，今姐姐一概不用，即用嘴算，又简便，又不错。”
以上这道题属于盈亏问题。熙春的两段话都是直录小说原文的。司徒的一段口算，小说里是用中国古代算法术语讲的，这里已经翻译成现代术语转述，如果列出算式就是：（1＋16）÷（8－7）＝17（人），17×7＋1＝120（个）。
盐船
因为大船和小船的只数相同，可将1只大船和1只小船配成1组，只需求出有多少组船。
从每4只小船装300袋盐，可以得到1只小船装的盐是300÷4＝75（袋）。
因而3只小船装的盐是75×3＝225（袋）。
又知道3只大船装500袋盐，所以3只小船和3只大船共计装盐225＋500＝725（袋）。
就是说，每3组船装725袋盐。总共有4350袋盐，所需船的组数是4350÷725×3＝18。
所以共有18只小船和18只大船。
数字对联
（2×8×6＋7－5）÷49＋1＝3。
泊松的启蒙
（1）将8公升酒倒入小容器，倒满后，把小容器的酒全部倒入5公升的容器中。
（2）再倒满小容器，将小容器的酒再向5公升容器倒，使它装满酒，此时小容器内只剩1公升酒。
（3）将5公升容器中的酒全部倒回盛8公升的酒瓶中，接着把小容器中的1公升酒倒入这时的空容器中。
（4）再把酒瓶中的酒倒满小容器，酒瓶中剩下的酒正好是8公升的一半。
丢番图的生平
根据这段墓志铭可以列出方程：
（1）设丢番图活了x岁，那么■x＋■x+■x＋5＋■x＋4＝x
解此方程，得出x＝84。即丢番图活了84岁，并且可以算出他33岁才结婚，38岁才得子。
河上荡杯
此题《孙子算经》中的解法是这样记载的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得。”可见《孙子算经》的作者就是用求方程解的方法解这道题的。
牛顿的牛
这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的重点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22－16×10＝60，是60头牛一天吃的草量，平均分到（22－10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究——用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
新长出的草供几头牛吃1天：
（10×22－16×10）÷（22－10）＝（220－160）÷12＝60÷12＝5（头）
这片草供25头牛吃的天数：
（10－5）×22÷（25－5）＝5×22÷20＝55（天）。
俄罗斯木匠
手稿中的解法是这样的：在12年内，第一个木匠可造12所房屋，第二个木匠可造6所，第三个木匠可造4所，第四个木匠可造3所，因而四个木匠在12年时间内共可造房屋25所。所以他们合作造一所房屋所需的时间是
365×■＝175■（天）
在上面的解法里，巧妙地利用了最小公倍数：取四个木匠造一所房屋所需时间的最小公倍数12年，在12年时间里各人所造的房屋数量都是整数，计算起来就方便了。
独眼铜像
根据题意，铜像手中的水管单独开放，3天注满水池，所以1天可注入水池的■。
铜像眼中的水管单独开放，1天刚好注满1水池；口中的水管开放，1天可以注满■水池。
由此可见，三管齐放，1天流出的水量是这个水池容量的■＋1＋■＝■。
所以注满水池所需的时间是■＝■（天）。
老鼠的难题
总数是19607。
房子有7间，猫有72＝49只，鼠有73＝343只，麦穗有74＝2401个，麦粒有75＝16807合。全部加起来是7＋72＋73＋74＋75＝19607。
可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年，埃及的一个僧侣名叫阿默士，他在纸草书上写有如下字样：
家猫鼠麦量器
749343240116807
但他没有说明是什么意思。
两千多年后，意大利的裴波那契在《算盘书》（1202年）中写了这样一个问题：“7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各有多少？”受到这个问题的启发，德国著名的数学史家M康托尔明白阿默士的题意和这个题所问的是相同的。
银河旅馆
他说：“只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。”
好了！这样每个房间里的人都住到双号客房中了，余下的所有单号房间有无穷多个，把它们空出来给那些推销员住。
这其实是数学上著名的“希尔伯特旅馆”——它被认为是一个有着无数房间的旅馆。这个故事是伟大的数学家大卫？希尔伯特讲述的，他借此引出了数学上非常重要的“无穷大”的概念：每一整数都有一个后继者直至无穷，所以在希尔伯特旅馆的每间房子后面都会有下一间……
翻碗的魔术
4个碗要翻4次，3个碗是不可能做到的。