不管任何环境下，要守住耶稣基督救赎的真理与最大诫命——爱人如己。
——牛顿
（一）
《光学》一书的出版给牛顿带来了前所未有的荣誉，但他所担心的“无休止的争论”也再一次发生了。英文版《光学》的最后附有两篇数学论文——《曲线求积法论着》和《三次曲线的数目》。这两篇论文是牛顿在微积分方面的总结性成果之一，合称为《曲线图形的种类和大小论着》。
牛顿本来打算将微积分方面的研究成果作为未完成的着作《几何学》的第二卷出版的。但由于牛顿投入到科学研究上的精力越来越少，这一计划只好作罢。这两篇篇论着和牛顿于17世纪60年代呈送给皇家学会的《对无穷级数的分析》一文一起，构成了微积分发展史上的三座里程碑，它们为近代数学以及近代科学的发展开辟了新纪元。
牛顿的微积分方法第一次公开与读者见面是在1687年。在他的名着《自然哲学的数学原理》的第一卷第一章，牛顿通过11条原理建立了“首末比方法”。“首末比方法”实际上就是牛顿《曲线求积法论着中》作为流数运算基础而重新提出的方法。
由于《自然哲学的数学原理》一书是用拉丁文出版的，在普通民众间的影响较小；而且，他该书中并未用纯数学的方法表述流数术，而是以图表方式阐述了这一思想。更为重要的是，书中凡是涉及到微积分的基本概念，牛顿都作出几种阐述。这种做法常常被一些人当作小辫子抓住，认为牛顿的思想是自相矛盾的。正是由于这些原因，牛顿的微积分思想在当时才没有引起科学家们太多的关注。
从科学发展的角度来看，牛顿给涉及微积分的基本概念作出多种解释完全是正常的。牛顿所处的时代并不是一个科学高度发达的时代，包括微积分在内的许多学说仍处于发展阶段。在时机尚未成熟之时，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给予不同解释正说明他深刻地意识到确立微积分基础所存在的困难。因而，他才十分认真、谨慎地对待这一问题，给后来者以更多的思考和启发。
其实，早在牛顿公布微积分方法之前，他便同德国数学家莱布尼茨（1646-1716）交换了意见。当牛顿在《自然哲学的数学原理》公布流数术时，曾加评注道：
大约10年前，在和非常博学的数学家莱布尼茨的通信中，我告诉他，我发现了一种方法，可以用以求极大值和极小值，作出切线及解答其他类似的数学问题。这种方法应用到无理数上和应用到有理数上同样是行之有效的。当我谈到这一点时，假定已知一个任意多的变数方程求流数，并反过来，已知流数求变数。我没有把方法告诉他，这位着名人物回信告诉我，他也想到了类似的方法，并把它告诉了我。他的方法除了定义、符号、公式和产生数的想法在形式上和我的不一样以外，几乎并没有多大的实质性区别。
牛顿的这段评注说得很清楚，莱布尼茨也发明了微积分方法，而且还是独立发明的。莱布尼茨出生在德意志神圣罗马帝国的莱比锡（今德国莱比锡），比牛顿小4岁，但却比牛顿早去世11年。比牛顿幸运的是，他的父母都是大学教授，自幼便受到了良好的教育。
1654年，8岁的莱布尼茨便进入尼古拉学院，学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑学、音乐，还有圣诗和路德教义等。莱布尼茨比牛顿早慧。当牛顿还在摆弄他的风车之时，莱布尼茨已试图改进由古典学者、经院哲学家和基督教神父们提出的逻辑学了。
1661年，当牛顿成为三一学院的“减费生”时，比他小4岁的莱布尼茨也考入了莱比锡大学法律系。1666年，当牛顿在伍尔兹索普的故乡躲避瘟疫，发明微积分，并初步确立万有引力体系之时，20岁的莱布尼茨也已具备了充分的条件去取得法学博士学位了。
如果对二者的人生经历进行仔细对比的话，人们便会惊讶地发现，这两位同时代的巨人似乎在举行竞赛一样，竞相在向世界展示他们的才华。
（二）
天才走向成功的道路从来都不是平坦的。当莱布尼茨向莱比锡大学提交博士论文之时，校方的管理人员出于嫉妒，以他只有20岁为由，拒绝授予他博士学位。
一气之下，莱布尼茨离开莱比锡大学，去了纽伦堡。在那里，他向阿尔特多夫大学分校提交了他的博士论文《论身份》。这篇杰出的论文赢得了阿尔特多夫大学委员会的一致赞誉，校方决定立即授予莱布尼茨法学博士学位，并且聘请他为法学教授。
耐人寻味的是，莱布尼茨拒绝了这一职位。他对阿尔特多夫大学校长说：
“阁下，非常抱歉，做大学教授并不是我的理想。”
校长惋惜地说：
“太可惜了！否则的话，你将成为整个欧洲最年轻的大学教授之一。”
莱布尼茨微笑着回答说：
“尽管我不能成为欧洲最年轻的大学教授之一，或许我能够成为全世界最年轻的外交官之一。”
听了莱布尼茨这句话，校长赞许地点了点头。就这样，莱布尼茨踏上了政坛，努力要做一名好外交官。
当时的德意志罗马帝国正处于四分五裂之中，名义上是一个统一的帝国，但各邦国都拥有独立的外交权，帝国的皇帝也是由各邦国根据1356年颁布的《金玺诏书》从7个选帝侯中选举出来的。所谓选帝侯，就是拥有被选举为罗马人民的国王和帝国皇帝权利的诸侯。在7个选帝侯中，以美因茨选帝侯的权利最大。美因茨选帝侯是选举召集人兼帝国摄政和首相，当无法确定皇帝人选之时，美因茨选帝侯有最终决定权。
1671年冬天，莱布尼茨受美因茨选帝侯之命，出使法国，劝说法王路易十四（1638-1715）放弃进攻神圣罗马帝国的计划。结果，莱布尼茨连路易十四的面都没见着，却意外地结识了当时与牛顿齐名的荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯。
直到结识惠更斯之时，莱布尼茨对当时的数学依然一无所知。但慧眼识英才的惠更斯发现他的身上有一种与生俱来的数学家潜质，便对他进行了专门的指导。从此，莱布尼茨才正式开始他的科研事业。而此时，牛顿已经是蜚声欧洲的大科学家了。
1673年1月，为促进英、荷关系的和解，莱布尼茨作为美因茨选帝侯兼首相的随员前往伦敦进行斡旋。结果，莱布尼茨再次在外交上遭遇失败，但却与英国学术界建立了联系，皇家学会秘书奥登伯格、胡克等人都成为他的好朋友。
奥登伯格和胡克等人发现，眼前的这名并不成功的外交官在数学方面颇有见解，遂推荐他为皇家学会会员。结果，莱布尼茨在当年春季便成为英国皇家学会的会员。如此一来，莱布尼茨与牛顿之间在社会地位上的差距便极大地缩小了。要知道，当年轻的莱布尼茨成为皇家学会会员之时，牛顿也不过刚刚加入该会一年的时间。
返回欧洲大陆之后，莱布尼茨定居巴黎。当时，巴黎是欧洲的科学艺术中心，是各国科学家和艺术家云集之地。受巴黎流行的科学思想的熏陶，莱布尼茨逐渐放弃了当外交官的梦想，转向科学研究。
莱布尼茨的道路与牛顿是完全相反的。牛顿早年专心从事科学研究，成名后开始从事政治事务。但他在政治舞台上并没有取得什么值得称道的成就。莱布尼茨早年从政，但始终也未能实现成为一个杰出的外交官的梦想。而在转向科学研究之后，莱布尼茨与牛顿一样，立即获得了巨大的成功。他的研究范围十分广泛，在每一个领域都颇有成就，甚至有人将他称为“18世纪的亚里士多德”、“德国百科全书式的天才”。