5.3允许退货的库存控制模型
生活中存在回收物品可直接再利用的情形。面对激烈的市场竞争环境，销售商为了提升在消费者中的形象，允许消费者购买产品后因产品的功能或型号不符、或产品有小瑕疵等原因将所购产品退回，比如服装或礼品等。特别是现在的邮购或电子网络订购商务中，消费者往往因一时的误操作而引发的退货行为更是成了难以解决的问题。在美国，每年从消费者手中退回商品的价值高达1000亿美元。
本节主要针对不同的退货处理方式——退货可直接再销售、退货可重新销售但具有滞后期、退货基于批量处理，分别提出了不同的库存控制策略。
5.3.1退货可直接再销售的库存模型
传统的报童模型用来为单个周期需求产品选择适当的库存水平。影响决策的因素有需求分布、产品的成本和价格、产品的残值或者库存保管成本，以及由于缺货而给厂家或该产品带来的信誉损失。报童模型的主要思想是通过周期需求分布的临界分位点来计算最优订货数量。
假设单个周期需求为离散随机变量D，服从已知分布，需求为r时的概率为P（r）；设h表示周期末剩余库存的单位产品残值或整个周期的单位库存保管成本；k表示未满足需求时单位产品的罚金；Q为订货决策变量，称为最大订货点；同样假设交货时间为零或很短。
借助传统“报童问题”的思想，考虑一个销售商的订货问题。假设销售商在一个订货周期内，允许消费者退货、退回产品经处理后仍然可以以原价卖出，并假设消费者的需求与退货服从独立的Poisson分布。
1.基本假设和符号
①销售商允许消费者退货，且退回产品经处理后仍然可以以原价卖出，单位处理费用为非负常数cp（元／件）（cp＝0时，表示退回产品可直接再销售）。
②在订货周期内，消费者的需求量和退货量分别服从参数λD、λR的Poisson分布（λD≥λR≥0）。
③销售商允许缺货，单位产品的缺货损失费用为cb（元／件）。
④销售商每次订货的固定费为a（元／次），产品的单位成本为c（元／件），产品的单位库存成本为cs（元／件），产品的售价为p（元／件）（p＞c）。
2.模型的建立和求解
（1）模型描述
由于允许消费者退货，从而导致抵消了部分需求，我们称这种考虑退货影响后实际的需求为“净需求”。
（2）求解算法
5.3.2退货处理具有时滞的EOQ扩展订货模型
假设销售商在一个订货周期T内允许消费者退货，退回产品经过时间L简单修复处理（如清洗、更换包装等）后仍然可以和“新产品”一样销售，但在（T－L）后退回的产品则被直接处理；假设消费者的退货率为u（0≤u＜1）。在以上假设下建立一个EOQ扩展的销售商订货模型，利用该模型分析退货率u对销售商收益及订货策略的影响。
1.模型假设和符号
考虑销售商的订货模型。称销售商相邻两次订货的时间间隔为一个订货周期。我们只考虑一个订货周期的成本。
（1）基本假设
①修复后的产品可以和新产品一样销售；
②在［0，T－L］退回的产品可以修复且可以重新销售，而在T－L后退回的产品只能处理作他用；
③不允许缺货。
（2）符号
模型中相关符号意义如下。
T：销售商的订货周期；L：退回产品的修复滞后期；D：产品的需求强度；h：单位数量的产品单位时间的库存成本；u：产品的退货率（0≤u＜1）；p：单位产品的订购价格；a：每次订货的固定成本；cr：单位退回产品的修复成本；s：退回产品被直接处理成他用的损失成本（一般s≥cr）。
2.模型建立
在上述基本假设条件下，我们建立模型来求解使单位时间上总成本最小的订货周期T、订货数量Q。其中总成本包括三部分：①整个订货周期内的库存成本；②退回产品的修复处理成本；③订购成本。其中订购成本包括订货的固定成本和产品本身的成本。固定成本只与订货的次数有关，而与订货的数量无关；产品本身的成本则和订货的数量直接相关。故与大多数文献一样，本节只考虑固定成本。
（1）整个订货周期内的库存成本
（2）退回产品的修复处理成本
［0，T－L］退回产品的修复成本＝cru（T－L）D（5.10）
［T－L，T］退回产品的处理成本＝suDL（5.11）
（3）订购成本
【命题5‐1】当不允许缺货，即u＝0时，扩展的EOQ模型退化为经典的EOQ模型。
【命题5‐2】扩展的EOQ模型的订货周期T比经典的订货周期TEOQ长。
【命题5‐3】扩展的EOQ模型的订货周期T是关于u和L的单调递增函数。
【命题5‐4】扩展的EOQ模型的订货量Q是关于L的单调递增函数。
证明略。
以上我们给出了允许退货情形下，销售商的订货模型——扩展的EOQ模型。下面将通过数值算例将其与经典的EOQ模型进行比较分析，并分析各个参数对最优策略的影响。
5.3.3基于退货定期和定量处理的最优库存控制模型
假设销售商在一个订货周期
内，允许消费者退货，且假设退货与需求无关并服从Poisson分布，退回产品由销售商简单处理（如清洁、更换包装等）后仍可像“新产品”一样卖出。本节前面两部分讨论的是对顾客的退货单独进行处理的情形。实际上，销售商从维护自身形象以及对消费者负责的角度，对大部分退回产品的需要进行简单处理，如清洗、更换包装或替换小零部件等（只有少数退货才需要退回厂家进行大修），且大多是分批进行以求得一定的经济效益。为此，我们讨论退回产品分批处理的两种情形：其一是定期处理，即指退回的产品每累积到一定时间间隔T就集中处理一次；其二是定量处理，即指退回的产品每累积到Qr个数量单位就集中处理一次。
1.基本假设和参数符号
设退回产品处理周期为T；销售商相邻两次订货的时间间隔为一个订货周期，它是退货处理周期T的倍数（nT）。
（1）基本假设
①消费者对产品的需求强度为常数d；
②消费者的退货服从参数为λ的Poisson分布（λ＜d）；
③退回的产品都可由销售商修复（修复时间不计），且修复后可和“新产品”一样销售；
④不允许缺货，且当存储降为0时，库存品可以立即得到补充。
（2）其他参数符号
本书中其他参数符号的意义如下：
C0：每次订货的固定成本；
Cr0：退回产品每批修复处理的固定（准备）成本；
Cr：单位退回产品的修复成本；
hs：单位数量产品的单位时间库存成本；
hr：单位数量退回产品的单位时间库存成本；
K：单位产品的订购价格；
I（t）：时刻t的库存水平；
Sj：第j个退回产品的到达时间；
N（T）：处理周期T内退回产品的数量；
Nj：第j个处理周期T内退回产品的数量；
2.数学模型
（1）定期处理的库存控制模型
由于产品退回是随机的，所以时间T内要处理的退回产品的数量也是一个随机变量。此时，问题是计算出使单位时间上总成本最小的订货数量Q和退回产品的处理时间长度T。其中总成本包括四个部分：①整个订货周期内的库存成本；②退回产品的库存成本；③退回产品的修复成本；④订货成本。
（2）定量处理的库存控制模型
由于退回的产品是随机的，所以处理的数量虽然确定，但时间是一个随机变量。此时，问题是计算出使单位时间总成本最小的订货数量Q、退回产品的处理批量Qr。其中总成本与基于定期处理的订货模型一样也包括四个部分：①整个订货周期内的库存成本；②退回产品的库存成本；③退回产品的修复成本；④订货成本。
案例分析
飞利浦家电公司减少退货的策略产品退货现象越来越严重，每年因退货直接造成的损失高达几千万美元！怎么办？
目前，家电公司的退货现象几乎成为家常便饭，尽管大部分的家电公司都把退货服务看成是推动新的销售渠道及销售额增长所必须付出的成本，但随着退货现象的增加，一个让人不满意的数据——无缺陷退货率（node fect found）也逐渐变得很高。无缺陷退货率在家电产品中占到了70％，PC产品中占到85％，一些种类的小家电更是超过了90％。飞利浦家电公司的情况就明显反映了这一点，作为一家非常有名的家电公司，其退货率甚至比行业平均退货率还要高。为了运输这些退回来的产品，飞利浦家电公司和其零售商都付出了巨大的成本；再加上由这些退货现象衍生出来的索赔、反索赔等问题，飞利浦公司每年都会因此造成几千万美元的损失。
为了处理退货问题，飞利浦公司的代理清算公司也费尽了周折，但成效不大。一方面，这些代理清算公司本身存在着财务问题；另一方面，这些公司在飞利浦家电公司的二级市场上所能追回的成本也很少。比如让那些清算公司代为销售的DVD产品，飞利浦1美元的损失也只能追回20～30美分。这个问题将飞利浦公司逼到了火山口。怎么办？
追本溯源：从内部改革上做文章，为了控制退货这项主要的成本产生点，1998年，飞利浦公司成立了专门的退货管理部门，他们发现了以下几方面的退货原因。
一是零售商无节制的退货政策。在调查中他们发现，零售商对三分之二的退货都进行了退款处理。这个数据对飞利浦公司来说尤其麻烦，因为大部分退货都被作为有缺陷产品而被退回到制造商处，由于退货量上升，运输成本也跟着上涨。其实，出现这个问题的主要原因是零售商没有使用修理商服务的意识；另外，零售商的销售人员没有受到很好的培训，不能让消费者很好地明白产品的性能和好处。还有，零售商制定的退货期限过长也是一个重要原因。