哈雷编纂了大量彗星的观测记录，并且是第一个全力以赴地从事彗星轨道计算的人。经过几年的努力，哈雷搜集了英国和世界各地历史上关于彗星的观测资料，找到了从1337年到他1698年观测到的24次关于彗星的记载。哈雷对这24颗彗星的轨道做了计算后，发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星，轨道十分接近，而且这三颗彗星出现的时间，又恰好都是相隔75年左右。这使哈雷突然产生了一个大胆的设想：难道它们竟是同一颗彗星吗？这个想法使他兴奋不已。但是，他清楚地认识到，要使设想变成科学，必须掌握大量的真实数据。
于是，他又开始查阅更早的历史资料，果然又发现每隔75或76年就有一颗明亮的大彗星出现。看来，这颗彗星的周期回归已经无可怀疑了。接着他又开始对这颗彗星的运行轨道作进一步的计算。
经过几个月的日夜奋战，计算、复核、计算……哈雷得到了令人欢欣鼓舞的结果：这颗彗星在运行轨道上环绕太阳运行的周期与历史上的记载完全相符。他不仅发现彗星的运行轨道，同时又一次雄辩地证明了万有引力定律的正确性，使天文学和物理学都向前推进了关键的一步。哈雷令人信服地指出：这颗彗星是太阳系的一颗行星，受太阳引力的吸引，围绕太阳运行，不过，这个椭圆形的轨道比地球绕太阳运行的轨道大得多。地球绕太阳一周需要一年，它则需时75年左右。
1720年，哈雷担任了格林威治皇家天文台台长，成为皇家天文学家。他正式宣布：“人们在1682年看到的所谓‘妖星’，是颗大彗星，实际上是1607年那颗彗星的回归。这颗彗星将在1758年底或1759年初重新出现在你们的眼前。”
这一庄严的宣告，振撼了整个欧洲大陆。整个英国社会乃至欧洲都产生了强烈的回响。社会上大多数人半信半疑，一些天主教士更是立即跳出来进行冷嘲热讽。但是，许多真正的科学家却极为重视哈雷的预言和论证，肯定了这一天文学研究方面的重大成绩。
哈雷的预言会成为现实吗？人们都拭目以待。
1758年12月25日，圣诞节之夜，这颗彗星没有辜负爱德蒙·哈雷的厚望，果然如期莅临了。人们高声呐喊：“哈雷来了！”
哈雷的预言得到证实使天文学界为之振奋，遗憾的是，哈雷没有等到这一天，他已于1742年1月14日卒于格林威治。人们为了纪念这位科学家的预言，将该彗星定名为“哈雷彗星”。此时，长眠地下达16年之久的爱德蒙·哈雷可以瞑目了。
3.发现月球的另一面
人造卫星没有上天之前，月亮的另一面对于生活在地球上的人类来说，永远是个谜。这是因为，月亮自转的周期和它绕地球旋转的周期相同，它总是一个半球对着地球，另一个半球永远背向地球。原因何在？第一个解答这个问题的，就是18世纪后期到19世纪初期的大科学家拉格朗日（JosephLouisLagrange，1736～1813，意大利数学家、力学家。他在分析和数论的各个领域以及分析力学和天体力学中都有杰出的贡献，其最重要著作《分析力学》是以后这一学科所有研究的基础。
拉格朗日是变分法的开拓者和分析力学的奠基人。1766年，普鲁士王腓特烈大帝写给拉格朗日的信中说：“欧洲最大之希望，欧洲最大的数学家——拉格朗日在我的宫廷之中。”拿破仑曾赞美他是“一座高耸的金字塔”。
拉格朗日1736年1月25日生于意大利的都灵。父亲是陆军骑兵里的一名会计官，后又经商，因经商破产，家庭经济景况日渐衰落。拉格朗日是长子，他有11个弟弟的妹妹。因此，父亲一心想让他学法律，将来当一名大律师，重振家业。然而，拉格朗日对法律毫无兴趣，却偏偏喜爱文学。父亲因而对他大失所望，放弃了对孩子学业上的信心。
拉格朗日并不是一位“数学神童”，恰恰相反，直到17岁的时候他对数学还未发生兴趣，他特别喜欢文学。17岁那年，他偶然读到一篇英国天文学家哈雷撰写的介绍牛顿微积分方面成就的文章——《论分析方法的优点》，使他对牛顿产生了无限崇拜和敬仰，于是下决心做牛顿式的数学家。
在进入都灵皇家炮兵学院学习后，拉格朗日就开始有计划地自学数学。由于他勤奋刻苦，进步很快，尚未毕业就担任了该校的数学教学工作。18岁开始撰写数学论文，19岁竟然已经被正式任命为该校几何学教师。
这一年，拉格朗日开始研究“极大和极小”的问题，采用了纯分析的方法，全面而系统地处理了范围很广的一类问题。1755年8月，他写信把这个方法告诉了著名数学家欧拉，欧拉立即给他回了一封热情洋溢的信，祝贺他取得的巨大成就。就这样通信、讨论，拉格朗日和大数学家欧拉一起开辟了数学的一个新的分支——变分法。
1756年，在欧拉的推荐下，20岁的拉格朗日被提名为柏林科学院的通讯院士，接着又当选为该院的外国院士。
1762年，法国科学院提出“月球天平动”的问题，作为1764年的悬赏题目。要求用万有引力定律解释月球何以自转，以及自转时总是以同一面对着地球，且产生二均差。在这次悬赏征答中，拉格朗日写出一篇出色的论文，成功地解决了这一问题，获得了科学院大奖，得到了巴黎同行的赞扬。一下子，拉格朗日的名字便传遍了法国、德国、意大利，乃至整个欧洲，引起了世人的瞩目。
两年之后，法国科学院又提出了木星四卫星的问题，这是一个比克雷罗、达兰贝尔、欧拉研究过的“三体问题”复杂得多的“六体问题”。所谓“六体问题”就是木星、木星的四个卫星（当时只发现木星有四个卫星）和太阳之间的摄动问题。
这个问题精确的数学计算在当时是相当困难的。拉格朗日面对这一难题，毫不畏惧，经过数个昼夜的艰苦奋斗，最后，他终于用近似解法克服了困难，从而再度获奖。这两次获奖使他赢得了世界性的声誉。
1766年，拉格朗日到柏林科学院工作，1776年接替欧拉担任柏林科学院院长的职务。1787年，拉格朗日离开柏林到了巴黎，先后任巴黎师范学校和巴黎工艺学院教授。
在柏林科学院的20年中，拉格朗日发表了许多的论文，成果丰富，多次获得法国科学院大奖：1772年以论文《论三体问题》获奖；1773年以论文《论月球的长期方程》再次获奖；1779年又以论文《由行星活动的试验来研究彗星的摄动理论》而获得了双倍奖金。
拉格朗日在柏林科学院期间，对代数、数论、微分方程、变分法和力学等方面进行了广泛而深入的研究。他最有价值的贡献之一是在方程论方面。在对前人用来解决四次以下方程的全部方法的基础上，又进行了深入的研究。于是得出了结论：用代数运算解一般n次方程（n＞4）是不能的。虽然对于这一结论他没能给出证明，但它对后来伽罗华建立群论起到了极为重要的作用。
最值得一提的是他完成了自牛顿以后最伟大的经典著作《论不定分析》，出版时他已经52岁，整整经历了37个春秋，倾注了他的全部智慧和心血。在这部巨著中，他是利用变分原理，建立了优美而和谐的力学体系。
他在序言中写道：“我们已经有了力学方面的各种专著，但本书的计划是全新的。我曾致力于将这门科学‘力学’，以及解决与它有关问题的技巧，化归为一般性的公式，这些公式的简单推导就给出解决每一个问题所必须的全部方程……在这项工作中找不到圆形。我在其中所阐明的方法，既不要作圆，也不要求几何和力学的推理，而只是一些遵照一致而正确的程序的代数‘分析’运算。喜欢分析的人将高兴地看到力学变为它的一个分支，并将感激我扩大了它的领域。”
确实，拉格朗日把宇宙谱写成由数字和方程组成的有节奏的旋律，把动力学发展到登峰造极的地步，并把固体力学和流体力学这两个分支统一起来。毫不夸张地说，这部巨著奠定了现代力学的整个基础。因此，伟大的科学家哈密顿把它誉为“科学诗篇”。
拉格朗日堪称第一位真正的分析家，他以严谨的科学态度研究每一个问题，精益求精。他的工作对于以后几个世纪中数学所遵循的路线有着深远的影响，也为高斯、阿贝尔等一代数学家的成长提供了丰富的营养。在以后一百多年的时间里，数学里很多重大的发现几乎都与他的研究有关。
1813年4月10日早晨，这位伟大的科学家在巴黎因病逝世，走完了他那光辉灿烂的科学旅程。在科学发展史中拉格朗日是一位“总结了18世纪的数学成果，开辟了19世纪数学研究道路”的科学天才。
4.天王星的发现
1781年，太阳系的一个新成员，第七大行星——天王星被发现，天文学又向前发展了一大步。天王星的发现，在当时引起了科学界的巨大震动。这颗行星的发现者，竟是一位极普通的乐师——威廉·赫歇耳（FrederickWilliamHerschel，1738～1822，英籍德国天文学家）。
威廉·赫歇耳于1738年11月15日生于德国西北部的汉诺威，当时父亲给他取名为弗里德里希·威廉姆（FriedrichWilhelm）。父亲是汉诺威军队的中的一名乐师。由于家庭贫困，他15岁时就被父亲送到军乐队拉手风琴和吹双簧管。然而，残酷的战争来临了。1757年，法军占领汉诺威。他18岁时只身从德国流亡到英格兰，靠演奏手风琴糊口度日。后来他把德国名字改为威廉·赫歇耳。
此时，赫歇耳已经迷恋上了天文学。观察天空需要望远镜，他没有钱买，就自己磨制。1773年，他开始磨制望远镜，先后制出了焦距为2米、3米、6米及12米的望远镜。
有了自己的望远镜，赫歇耳立即把它指向星空。
1774年，赫歇耳不仅制作出世界上最好的反射望远镜，而且第一次使反射望远镜的效能真正超过了当时的折射望远镜。正是这架反射望远镜使他的天文事业进入到科学的研究阶段，进而取得一些重大发现。
在赫歇耳进行“巡天观测”的第七个年头，1781年3月的一个夜晚，晴朗的天空格外寂静，月光下，赫歇耳照例用自制的2.1米焦距反射镜和放大二百多倍的目镜作“巡天观测”。
突然，朦胧的双子星座内出现了一颗绿色的光点，他重新调节了一下焦距，没错，是一颗美丽的绿色的星，还带有草帽似的光环呢！
当时，他无比激动，寂静的夜晚无法抑制他的喉咙：“我发现新的星星了！”嘹亮的声音，响彻天空。
起初，他怀疑这可能是一颗彗星，所以他报导说，自己发现了一颗彗星。然而，他又进行了多次观测，发现这个小圆面像一颗行星那样具有明显的边缘，而不像彗星那样只有模模糊糊的边界。
后来，许多天文学家摆出了各种证据，特别是当计算出它的轨道时，赫歇耳才恍然大悟：“原来自己的确发现了一颗的新的行星，是一颗比土星更远的大行星。”这一重大发现振撼了英国，传遍了全世界。从前，人们一直把土星当作太阳系的边缘，认为太阳只有六颗行星：金星、木星、水星、火星、土星和地球。现在这一传统观念被打破了。
威廉·赫歇耳，这位英籍德国人发现新行星后，当年5月，被英国皇家学会授予科普利勋章，6月被选为英国皇家学会会员。英王乔治三世鉴于威廉·赫歇耳的重大成就，特别奖给他200英镑的年俸，还给他大笔观测费用和设备。从此以后，赫歇耳再也不必为穿衣吃饭发愁了，他把全部的精力都投入了天文学事业。
“天王星”的发现，给宗教神权又一次致命的打击，为哥白尼的“日心说”增添了科学证据。这一发现开阔了天文学家的视野，导致了海王星、冥王星的发展，使行星天文学跨进了一个新的历史时期。赫歇耳成为他那个时代最重要、成就最大的天文学家。
1782年，英王乔治三世聘他为宫廷天文学家。同年他从巴斯迁居达奇特，并完全致力于天文学的研究。1786年定居于斯劳。1787年制成一架焦距6米的反射望远镜。1789年又制成一架焦距12米、口径122厘米的大型望远镜（他一生制作望远镜达数百架之多）。他用这些望远镜获得许多重要发现。
1800年，赫歇耳用灵敏温度计研究光谱里各种色光的热作用时，把温度计移到光谱的红光区域外侧，它的温度上升得更高，说明那里有看不见的射线照到温度计上，这种射线后来就叫做红外线。
由于赫歇耳发现了太阳光中的红外辐射，并推测出这种辐射的性质，从而创立了天文学中的一门新学科——彩色光度学，成为人类第一个发现大自然中除可见之光外还存在着其他辐射的光。
1821年，赫歇耳成为英国皇家天文学会第一任会长。次年8月25日在斯劳逝世。
除上述之外，赫歇耳还先后作出三份“双星表”及2500个星云和星云团，发现天王星的两颗卫星和土星的两颗卫星，发现了太阳的空间运动，提出了银河系的形状假说，并用统计恒星数目的方法，证实银河系为扁平状圆盘的假说。他企图测量银河系的大小，但没有成功。虽然他曾错误地认为银河系的深度是“不可测量的”，但他创立了恒星天文学的研究方法。
由于他对恒星及恒星系的研究作出了巨大的贡献，被人们称为“恒星天文学之父”。值得一提的是，他的妹妹C.L.赫歇耳（CarolineLucretiaHerschel，1750～1848）和儿子J.F.赫歇耳（JohnFrederickWilliamHerschel，1792～1871）也都是英国著名的天文学家。