1898～1899年，希尔伯特在哥廷根大学讲授几何学，他得出新结论：由公理推得的定理，对于基本概念和基本关系的任何解释都能成立，只要这些概念和关系满足公理就行。在此基础上建立一组简单而又完备的、相互独立的公理。通过这组公理就可以证明欧几里得几何中早已熟知的全部定理。
希尔伯特在数论领域取得了重要成就，在物理学、逻辑学方面也提出了许多真知灼见。1941年是希尔伯特80岁寿辰的日子。柏林科学院经表决要纪念这次生日：给那本论述几何基础的92页的小书以特殊的荣誉。在希尔伯特所有有影响的着作中，它对数学的进步产生了最深刻的影响。
在去科学院做出这项决定的当天，希尔伯特跌倒在哥廷根的大街上，摔断了胳膊。这项不幸事故招致他的身体无法活动，于是又引发各种并发症，过了一年多一点时间——1943年2月14日，他与世长辞了。
只有几个知心朋友出席了那天早上在他家里举行的葬礼。阿诺德·索未菲尔德，希尔伯特最早的学生之一，从慕尼黑赶来，他站在棺材旁边讲述了希尔伯特的工作。
他最伟大的数学成就是什么？
“是不变量吗？是他如此喜爱的数论吗？是几何基础吗？——那是自欧几里得几何之后，该领域中最伟大的成就。在函数论基础和变分计算方面，希尔伯特的证明确立了黎曼和狄里克莱推测的正确性。积分方程论的研究也到达了高峰……不久，在新物理学里……它们又结出了最漂亮的果实。他的气体理论，对新的实验知识产生了根本性的效应，至今仍未过时。还有，他对广义相对论的贡献也具有永恒的价值。至于他探讨数学真知的最后努力，现在还没有定论，但是，当这一领域有可能进一步发展时，它将不会绕过而必须由希尔伯特继续向前。”
131.力学动力方程及求解
19世纪爱尔兰着名数学家W·R·哈密顿提出了一个世界着名的问题：周游世界问题。
1859年，哈密顿拿到一个正十二面体的模型。我们知道，正十二面体有12个面、20个顶点、30条棱，每个面都是相同的正五边形。
他发明了一个数学游戏：假如把这20个顶点当作20个大城市，比如巴黎、纽约、伦敦、北京……把这30条棱当作连接这些大城市的道路。
如果有一个人，他从某个大城市出发，每个大城市都走过，而且只走一次，最后返回原来出发的城市。问这种走法是否可以实现？
这就是着名的“周游世界问题”。
我们如果知道七座桥的传说，就会意识到这是一道拓扑学研究范围内的问题。
解决这个问题，方法很重要。它需要一种很特殊的几何思路。这种题是不能拿正十二面体的点线去试的。
设想，这个正十二面体如果是橡皮膜做成的，那么我们就可以把这个正十二面体压成一个平面图。假设哈密顿所提的方法可以实现的话，那么这20个顶点一定是一个封闭的20角形世界。
依照这种思路，我们就进入了最初步的拓扑学领域。最后的答案是，哈密顿的想法可以实现。
哈密顿是一位首先提出“四元数”的人。这个成果至今还镌刻在他天才火花闪现的地方。
复数可以用来表示平面的向量，在物理上有极其广泛的应用。人们很自然地联想到：能否仿照复数集找到“三维复数”来进行空间量的表示呢？
1828年开始，哈密顿开始悉心研究四元数。四元数属于线性代数的组成部分，是一种超复数。但在哈密顿以前，没有人提出四元数，哈密顿也是要解决空间量表示而研究的。
研究了十多年，哈密顿没有丝毫进展，他是一个数学神童，少有难题，这次可真遇上麻烦了。到1843年，哈密顿研究了整整15年。
有一天下午，夕阳无限，秋色爽丽，风景宜人。哈密顿的妻子见丈夫埋头研究问题，几乎不知寒暑不问春秋，于是很想让他外出放松一下，调节一下身体。
她说：“亲爱的，外面的自然即使不比你的数学更有趣，但也不会逊色的，快出去看看吧，多么美丽的秋天呀！”
哈密顿在妻子的劝说下，放下手头的问题，走出书房。
夫妻二人散步，不知不觉来到护城河畔。秋风柔和而凉爽，河面波光粼粼。清新的空气带着成熟的果香和大自然土壤的芬芳使人精神振奋，思维清晰。
他们陶醉在大自然中，这时暮色苍茫，晚景宜人。二人来到玻洛汉姆桥，对着清新的水汽，望着万家灯火，哈密顿的头脑在若有若无之中思考，似乎远又似乎近，似乎清楚又似乎模糊的东西久久在脑海萦绕。招之不来，挥之不去。突然之间，这些印象似的感觉都变成了亮点，以往的迷雾全部消失弥散，思维的闪电划过头脑的天空。哈密顿眼前豁地亮了，那些澄明的要点一一显露。
哈密顿迅速地拿出随身携带的笔记本，把这令人欣喜若狂的结果记录下来。15年来，整整15年，终于在这里找到了解法！
借着这个时机，哈密顿大踏步地飞奔回家，一头扎进书房，废寝忘食。一连几天，几乎不动地方，全神贯注地书写并且不时地演算。在几寸厚的稿纸中，哈密顿整理出一篇划时代意义的论文。
1843年11月，数学界被轰动了，哈密顿和爱尔兰科学院向世人宣布了“四元数”。
哈密顿证明了，要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。
1853年，哈密顿写成《四元数讲义》，于1857年发表。在他逝世后第二年，即1866年发表了《四元数原理》。
哈密顿敏锐地感觉到四元数的物理学意义。只可惜，他没能目睹四元数的变革作用便离开人间。
伟大的麦克斯韦正是在哈密顿四元数理论基础上利用向量分析的工具走出迷茫，得出举世闻名的电磁理论的。
四元数的研究，推动了向量代数的发展。在19世纪，数学家证明了超复数系统，人类思维达到了空前广阔的领域。
直到现在，爱尔兰都柏林玻洛汉姆桥，哈密顿驻足之处，仍立着一块石碑，碑铭记载：“1843年10月16日，威廉·哈密顿经过此桥时，天才地闪现了四元数的乘法，它与实数、复数显着不同。”
谁又知道，驻足缅怀的人中有几人能知科学探索的“灵感闪现”背后是数载的艰辛呢？
132.二次函数的来历
函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。
直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。
19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。
133.自然现象之谜与数学
肥皂泡是圆球形，荷叶上的露水聚成颗颗“银球”，这现象向我们展示，自然界隐含着一个最小作用原理。再如：猫总是蜷曲身体，缩成球体。这样它所逸出的热量最少。
皂膜实验，其结果反映到数学中即“周长相等的所有封闭平面曲线中以，圆所围成的面积为最大。”
十七世纪近世几何学家施坦纳构思了一种非常巧妙的方法，但它在证明开始暗中作了一个假设：存在一个面积最大的图形。在研究的对象还没有确定是否存在的情况下，不能假设它存在。
黎曼一篇论文中犯过类似施坦纳的错误，本世纪，柏林大学研究基础理论着作的魏尔斯特拉斯教授指出了黎曼论文中的破绽。他的这一严格批评，曾轰动了当时整个世界数坛。
太阳、地球、行星都成球形，原子、电子及其去年轨道都近乎圆形。因为“圆是第一个最简单和最完美的图形。”它是最小作用原理的产物。
134.数学分数符号的来历
数学符号太多，不数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞，＜，∽，（），√等，能找得太全，也不是那么容易的，这里只找了一些常用的。加减号“＋”，“－”，1489年德国数学家魏德曼在他的着作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始。乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘。另一乘号“？”是数学家赫锐奥特首创的。除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比。也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”。瑞士的数学家拉哈的着作中正式把“÷”作为除号。等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用。1591年法国数学家韦达在其着作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。十七世纪微积分创始人莱布尼兹广泛使用了这个符号，从此人们普遍使用。在（小）于号“＞”，“＜”，1631年为英国数学家赫锐奥特创用。相似号“∽”和全等号“≌”是数学家莱布尼兹创用。括号“（）”，1591年法国数学家韦达开始使用括线，1629年格洛德开始使用括号。平方根号“√”，1220年意大利数学家菲波那契使用R作为平方根号。十七世纪法国数学家笛卡尔在他的《几何学》一书中第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁文root（方根）的第一个字母“r”变来，上面的短线是括线，相当于括号。
135.数学中e的来历
尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多着作的学者。数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。
尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。
尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”
这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！
相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数。
而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。
136.奇妙的立体截面原理
知道球体半径，那么由上述公式就很容易算出球体积来。这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德利用力学方法和穷竭法推导出来的。中国古人用自己独特的方法也得到这一公式，虽然晚于阿基米德，但在推导球体体积公式的过程中，却无意间发现了立体几何中的一个重要结论——立体截面原理。
《九章算术》是中国古代最早的着名数学专着之一，它是由许多数学家合作编写，并经过几代人的修订改编，最后完成于西汉末年，距今已有2000多年了，书中计算体积的公式以现在的表述方式是V=4.5R^3.其圆周率取的是3.375。按照这个公式来计算球体体积，误差实在太大了。过了200多年，即公元263年前后，刘徽在给该书作注解时，发现这个公式存在问题。