俄国一美术博物馆收藏了一幅奇怪的油画，画名就叫《难题》。油画的作者是着名俄国画家波格丹洛夫·别列斯基。油画描绘了俄国数学家、教育家拉金斯基和他的学生们正在演算黑板上的数学题。画面的主体是黑板上用白粉笔列的一道数学题。一群俄国小学生正仰着小脑袋，皱着小眉头，望着黑板上的数学题动脑筋。黑板上方有一个镜框，镜框里有拉金斯基的半身肖像。他面带微笑，双眼闪着聪睿和蔼之光，看着孩子们，好像在鼓励他们开动脑筋，攻克难关。
这幅油画中，黑板上的数学题占据了画面的中心，似乎显得单调、枯燥；但是，只要人们驻足观看一眼，就会被画面空间洋溢出的智慧吸引住，情不自禁地在油画前做起数学题来。
乍看之下，这道数学题似乎并不难，但是细细一看，却也不是很容易。它不仅使小学生搔头抓耳弄不明白，就是大人们也一下子难以算清。
黑板上列的是一道分数题：
分子是：10的平方加11的平方加12的平方加13的平方加14的平方；
分母是：365。
求它的答案。
这道题是拉金斯基出给他所教的小学生做的。拉金斯基是俄国莫斯科大学的数学教授，是着名的数学家。他为什么要给小学生出数学题呢？
原来，拉金斯基虽然出生于俄罗斯偏远的农村，却天生地对数学有浓厚的兴趣，小时候常常为一些“难题”，算个几天几夜也不疲倦。11岁那年，他碰到一道二元二次方程式，无论他怎样绞尽脑汁，也解不出来。倔强的他独自徒步100多里，到城里向一位中学数学老师请教。老师只花了一分钟，教给了他一个简单的公式。他便很容易、很迅速地解开了这道方程式。这件事对拉金斯基深有触动：一些令乡村孩子们头疼的“难题”，只要有老师指导，其实是很容易解的。
拉金斯基通过自己的努力奋斗，终于成为俄罗斯出类拔萃的数学家。但是，他始终难忘乡村的孩子们。经过再三思考，他毅然辞去大学教授的职位，到乡村小学去当一名数学教师。他深知数学常常使农村孩子们畏惧，决心把枯燥的数学转变为孩子们喜爱的课程。于是，他利用数的一些特性，教给孩子们许多速算的方法。这既可以教给孩子们实际的技能，也可以激发孩子们的创造性，培养出对数学的浓厚兴趣和严谨的思维。油画中的数学题就是拉金斯基出的。他之所以要出这道题，是因为这道题看起来很麻烦，但是，如果了解了这道题几个数字之间存在的一个特性，它就迎刃而解了。
那么，这道题几个数字之间有什么特性呢？
你先算一算，它等于多少？
在计算中，你发现什么规律没有？拉金斯基在计算中发现了一个规律，就是：10的平方加11的平方加12的平方之和，正好等于13的平方加14的平方之和。而10的平方加11的平方加12的平方等于365；也就是说，13的平方加14的平方也等于365。这样，分子是两个365的和，而分母是一个365。分子除以分母，答案即可脱口而出地说出来：2。
这样的数学题，不仅教会学生速算的方法，更重要的是，它能启发学生细心地去考察数的一些性质，从而运用技巧去解决难题。画家别列斯基创作这幅油画，把看似枯燥的数学题绘进画幅，但却使观者如嚼橄榄，回味无穷，观众对拉金斯基出色的教学法赞不绝口。
看过这幅油画的人，在弄懂了它的寓意以后，再做数学题，都会特别留心数字之间是否有规律存在，并力图寻找出简便的运算方法来。中国着名数学家华罗庚曾经建议学数学的人，都看一看这幅油画。
9进制
乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数目、公式打交道，深感数学的神秘和魅力。特别有趣的是，他的妻子安妮连续3年都在同一天分娩，更使他感到冥冥之中的某种神秘力量造成了这种巧合。因此，他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
随便举几例他发现的巧合。
法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔1个多世纪，但他们之间却有很多数字的巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希特勒1945年灭亡，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻入维也纳，相隔也是129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒1941年进攻苏联，其间相隔又是129年。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。接替林肯任总统的名叫约翰逊，接替肯尼迪任总统的也叫约翰逊。更巧的是，杀害林肯的凶手生于1829年，杀害肯尼迪的凶手生于1929年，又正好相隔100年。两名凶手都被捕获经审讯被处决。更令人吃惊的是，林肯出事这一天，他的一位姓肯尼迪的秘书曾急切建议林肯不要去剧院；而肯尼迪出事这天，他的一位叫林肯的秘书也曾极力劝告肯尼迪推迟达拉斯之行。
兰伯特被这些巧合和数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。他惊奇地发现拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过来成为921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129＝792，792÷9＝88；100001＝99；99÷9＝11。而且，它们都有一个十位、个位相同的两位数商。
兰伯特异常吃惊。他又做游戏似地用这些名人的出生日期来做数字组合分解，又得到一个奇特的数学现象。
拿破仑出生于1769年8月15日，将这些数字连起来，构成一个数1769815。重新组合排列这些数，任意构成一个不同的数，例如9876511。在这两个数中，用大数减去小数，即9876511-1769815＝8106696。把所得的差的各个数位上的数相加，得到一个两位数36。再把这个两位数十位和个位上的数相加，即3＋6＝9。最后的结果是9。
林肯出生于1809年2月12日，将这些数字连起来，构成一个数1809212。重新组合排列这些数，任意构成一个不同的数，例如9212081。在这两个数中，用大数减去小数，即9212081-1809212＝7402869。把所得的差的各个数位上的数相加，得到一个两位数36。再把3和6相加，其结果仍然是9。
实际上，把任何人的生日写出来，按照上面的方法计算，最后得到的结果都是9。不信，用你的生日算一下，结果一定还是9！
兰伯特对9入了迷。
他发现，将1，2，3，4，5，6，7，8，9加在一起，它的和是45，那么4＋5＝9。
他发现，用9乘以任何数，得出的积数相加，结果它们的和总是9。
9×2＝18——1＋8＝9
9×3＝27——2＋7＝9
9×4＝36——3＋6＝9
9×5＝45——4＋5＝9
9×6＝54——5＋4＝9
9×7＝63——6＋3＝9
9×8＝72——7＋2＝9
9×9＝81——8＋1＝9
不论你用来乘9的数有多大，得数加起来总是9！你可以试用每一个数，结果绝对都如此：
9×78＝702——7＋0＋2＝9
9×1997＝17973——1＋7＋9＋7＋3＝27——2＋7＝9
……
他发现，取任何一个数，比如说1997，把每一位数加起来1＋9＋9＋7＝26，用1997减去26，就等于1971。这个数一定能被9除尽！1971÷9＝219。
兰伯特带着对9的神秘感去请教大数学家乔希·波普。波普告诉他关于9的数理。
把一个大数的各位数字相加得到一个和；再把这个和的各位数字相加又得到一个和；这样继续下去，直到最后的数字之和是个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。
这个数字根等于原数除以9的余数。这个计算过程，被称为“弃9法”。
求一个数的数字根，最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如求199798的数字根，其中有3个9，而1＋8也等于9，就可以舍去，最后只剩下7。7就是199798这个原数的数字根。
由这些知识可以解释前面所述生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排，就得到一个新的数n′。显然n和n′有相同的数字根(例如199798和199897)，把两个数字根相减就会得0。也就是说n-n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9。而在这种算法中，0和9本是一回事(即一个数除以9所得的余数)。n-n′＝0，只有在n＝n′即原数实际上没有改变时才发生；只要n≠n′，那么n·n′累次求数字和所得的结果一定是9。
懂得了弃9法，兰伯特顿悟了不少。他进而想到，人类根本不应当10个10个地数数(十进制)，也不应该12个12个(一打)地数数，而应该9个9个地数数，实行九进制。
这听起来似乎令人难以接受。因为人类有史以来就使用十进制；而现在的电子计算机也是采用的二进制。使用九进制有必要吗？
科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。但目前对9的研究还很不够，9对人类来说还极具神秘性。包括兰伯特在内的数学家们正努力地探索9的奥秘，希望在21世纪能对9的研究有更大的突破。
在结束本文的时候，请欣赏以下美妙的数字，以唤起你对神秘的9的兴趣，让你成为打破9的神秘的突击手，使人类在21世纪有可能掌握一种更先进的九进制计数方法：
987654321×9＝8888888889
987654321×18＝17777777778
987654321×27＝26666666667
987654321×36＝35555555556
987654321×45＝44444444445
987654321×54＝53333333334
987654321×63＝62222222223
987654321×72＝71111111112
987654321×81＝80000000001
会下金蛋的母鸡
神话里有个仙人，他有一个神奇的宝盆，装进石子就能变成金子；童话里有个仙女，她有一个神奇的手指，能点石成金；……这些当然都是人们编造出来虚无飘渺的故事。
然而，在数学王国里，却真有一只神奇的会下金蛋的母鸡……
那是在300多年前的法国。
当时巴黎有一位律师，名叫皮埃尔·费尔马，是一个数学爱好者。他把毕生的业余时间都用来研究数学，并且在许多数学领域里做出了开创性的贡献，被人们称为“业余数学家之王”。
费尔马性情好静，不喜欢写书和发表论文，但是喜欢在钻研别人的着作时，在书页的空白处随时写下问题，记下心得。
1637年，费尔马在巴黎买了一本古希腊数学家丢番都的着作《算术》的拉丁文译本。他在这本书第2卷的“将一个平方数分为两个平方数”旁边的空白处写了一段话：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于这个结论，我确信已经发现了一种美妙的证明方法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
当然，这段话是费尔马死后，人们为编辑、整理他的论述而查阅他的书籍时发现的。
但是，谁也没有见到过这个“美妙的证明”。费尔马的儿子整理了他的全部遗稿和书信，都没有找到那个“美妙的证明”。
后人把费尔马写在书页空白处的那个结论叫做“费尔马猜想”或“费尔马问题”，但更普遍的是称之为“费尔马大定理”。用数学术语表达费尔马大定理就是：“当n是大于2的整数时，方程xn＋yn＝zn没有非零的整数解。”
费尔马大定理的证明激起了许许多多数学家的兴趣，高斯(“数学王子”)和欧拉(18世纪最优秀的数学家)都为证明它而花费了巨大的精力，但都没有解决。人们惊呼：费尔马大定理的证明实在太难了！它简直是在向人类的智慧挑战！
为了鼓励人们解决这道难题，许多国家的科学院曾设立多种奖金。17世纪末，德国一个城市的科学家和市民募捐了10万金马克，准备奖给解决这个难题的人，但没有得到结果；19世纪中，法国科学院两次设立3千法郎奖金，也没有得到结果；1908年，德国哥廷根科学院设立奖金10万马克，限期100年，向全世界征求费尔马大定理的证明，到现在为止，仍然没有看到完全的证明！
300多年来，一代一代数学家为了显示人类的智慧，揭示难题背后的数学真理，不断地创造新颖的数学方法，无意中创立和发展了新的数学分支，推动了整个数学的发展，这个意义远远超过了解决这个难题的本身。
1900年8月6日，第2届国际数学家大会在巴黎开幕了。8月9日，德国大数学家希尔伯特向到会的200多名数学家，也是向国际数学界提出了23个问题，这些问题当然都是非常非常难的，是新世纪里数学家们应当解决的。人们奇怪地问希尔伯特，为什么不把费尔马大定理列入这23个问题中去？希尔伯特意味深长地说：“如果我能解决这个问题，我将回避而故意不解决，这是因为我们应当更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”
希尔伯特把费尔马大定理比作“经常为我们生出金蛋的母鸡”，说明追求一个难题的解决，往往会使人们闯入新的领域里去。例如，德国数学家库麦尔(1810～1893)在研究费尔马大定理的过程中，创立了重要的数学概念——理想数，同时开创了一门崭新的数学分支——代数数论(1884)，在现代数学中，代数数论仍然是十分活跃的领域，因为数学家们认为，库麦尔因此而创立的代数数论比费尔马大定理本身还重要得多！
“光阴似箭，日月如梭”，转眼就到了20世纪90年代，证明费尔马大定理的工作也不断取得进展。“说时迟，那时快”，历史的指针指向了公元1993年，距离德国哥廷根科学院1908年悬赏10万马克征求费尔马大定理的证明的100年有效期限，只有短短的14年了！这时，在向费尔马大定理进军的征途中，传出了震惊世界的消息：1993年6月23日，在英国剑桥大学举行的一次小型数学学术会议上，四十多岁的威尔斯(AWiles)博士在连续3天的学术报告结束时宣布：他已证明了费尔马大定理！几小时内，费尔马大定理获得证明的消息传遍四方，震惊了国际学术界。