没有大胆的猜测，就没有伟大的发现。
——牛顿
（一）
1664年底，一颗彗星出现在天空中，拖着长长的尾巴从东向西飞去。那天晚上，牛顿正在宿舍里静静地思考着什么，突然听到威金斯在外面喊：
“艾萨克，快来呀，彗星出现了！”
牛顿闻声走出房间，抬头仔细地注视着天空中的彗星。夜深了，威金斯打算回宿舍休息去了，他轻轻走到牛顿的身旁，低声说：
“艾萨克，我们该休息了。”
牛顿似乎根本没有听到威金斯的话，依然一动不动地盯着彗星看。威金斯拍了拍牛顿的肩膀，提高声音说：
“嘿，艾萨克，该休息了！”
牛顿这才回过神来，心不在焉地说：
“你先休息吧，我再观察一会儿。”
威金斯回去了，牛顿依然安静地站在校园里，仰头望着天空。直到黎明时分，彗星完全消失在光明之中，他才精神恍惚地回到宿舍。
天亮了，校园里立即沸腾起来，人们都在纷纷议论前一天晚上出现的彗星。当时，大多数人都认为彗星是天空中神秘莫测的旅行者，它的出现对人们来说是不详的征兆。人们纷纷说：
“不知道这次会出现什么灾难！”
几天后，从荷兰传来消息说，那里出现了一种新的瘟疫，可能来自意大利，也可能是从克里特岛或塞浦路斯传来的。一时间，伦敦的人们陷入了惶恐之中，不知道这种新型瘟疫会不会传到英国。到时候，人们该怎么办呢？
就在人们恐慌之时，瘟疫已经在人口密集的伦敦蔓延开了。在最初的几周里，每天都有人痛苦地死去，开始是几个人、几十人，后来是上百人、上千人……由于死去的人太多，连尸体都没人掩埋。
为了提前将学生遣散回人口稀疏的乡下，剑桥大学不得不提前为当年毕业的学生举行毕业典礼。1665年1月，剑桥大学评议会通过了授予牛顿文学学士的决议。获得剑桥大学三一学院文学学士的这一年，牛顿22岁。
牛顿给母亲写了一封信，告诉她自己已经得到了学士学位。但在瘟疫肆虐的岁月里，邮差死的死、逃的逃，牛顿的信过了好几个月才抵达伍尔兹索普。
在一片末日情绪里，剑桥大学已经开始遣散学生。三一学院的学生们纷纷放弃学业，回到空气新鲜、人口密度较小的乡下避难去了。
牛顿却不愿意返回伍尔兹索普故乡。一来，他与母亲和几个弟弟、妹妹的感情十分生疏，根本不知道如何与他们相处；二来，牛顿不愿意离开学校，他生来就不是一个当农民的材料。如果回到伍尔兹索普，他的学业怎么办？他的科学实验又怎么办？
牛顿在三一学院一直拖到5月份，始终不愿离开。这时，母亲汉娜的回信到了。母亲在信中写道：
“亲爱的艾萨克，来信已经收到。我和弟弟、妹妹们都很好，愿上帝保佑我们！”
母亲这封简短的回信勾起了牛顿内心深处的情感。他是一个自幼缺乏母爱的人，一旦母亲对他表露一丁点儿的情感，他就无法控制自己。在母亲的召唤之下，牛顿终于收拾行李，背起背包，心情沉重地回到故乡伍尔兹索普。
临行前，巴罗教授告诉他，院方已经决定录用他为三一学院的“学侣”。学侣相当于现在的研究生，不但可以免费住在学院提供的宿舍里，还可以领取少量的薪水。这就意味着，牛顿可以在瘟疫过后回到剑桥就职，而不必四处去寻找工作了。
离别4年，故乡依旧。房子还是那座房子，农场还是那处农场，连远处的小山也没有任何变化，依然郁郁葱葱，飘着水果的香味。这是牛顿第二次辍学回家，也是他一生中最为重要的时期。正是在故乡避难的这18个月，牛顿完成了许多人一辈子也无法完成的伟大事业；也正是这18个月，牛顿用他的聪明才智改变了人类科学事业发展的轨迹。
（二）
牛顿回乡后做的第一件事，就是自己动手盖了一个书房，又做了几个书架。他将在剑桥大学买的书和记录的笔记工工整整地摆在书架上，又开始认真读书了。从继父史密斯那里得到的旧笔记本派上了用场。他把这个笔记本命名为《杂录》，开始用它写读书笔记。这些笔记是牛顿早期从事科学研究和哲学思考的记录。他不断地向自己提出问题，逼着自己去思考、计算答案，然后又提出新的问题，进行新一轮的思考。就这样，他的研究很快就超越了他那个时代的知识前沿。不过，当时的牛顿并没有意识到这一点。
在那段岁月里，各种奇思妙想和科学的灵感就像泉水一样源源不断地从牛顿的脑海里喷涌出来。他的光学、数学、力学、化学和自然哲学思想在这段岁月中都有了雏形，甚至取得了一些显着成绩。
牛顿在这段岁月里取得第一项伟大成就是发明了微积分。我们知道，数学是进行自然科学研究的基础。牛顿之所以能够在天文学、物理学和化学等方面都取得巨大的成就，很大一部分原因是他本身就是一个出色的数学家。
在牛顿生活的时代，困扰数学界的一个难题是如何作曲线上任意一点上的切线，并计算曲线下面的面积。有一天，牛顿在书房里静静地阅读笛卡尔的《几何学》与沃利斯博士的《无穷算术》，不知不觉入了迷。读着读着，牛顿发现了一个惊人的秘密，那是一些关于级数的规律。不久，牛顿就将其发展成为了任意次幂的二项式展开定理。这是牛顿数学生涯中第一个富有创造性的成果。
随后，牛顿展开了艰苦的计算工作。他用一种独特特的方法计算了双曲线形的面积，并且一直精确到小数点后52位。这是一个非常接近双曲线形真实面积的数字。在稿纸上，2000多个数字密密麻麻而又十分整齐地排列着。这是牛顿构思无穷数列并且学着进行运算的开始。
牛顿可能不知道，他的这一举动已经从实际上转换了数学发展的状态。牛顿让无穷在数学中变得有意义起来，而笛卡尔没有做到这一点，也没有想过要这样做。他曾经说：
“我们根本不应该进入对无穷的讨论。由于我们自身不是无穷的，因此让我们去决定任何与无穷相关的事物都是荒谬的！这就等于我们试图去限制或停止它。对那些问直线的一半是不是无穷的、一个无穷的数是奇数还是偶数等问题的人，我们不要去理会他们。人不应该去想这样的问题，除非他认为他的头脑是无穷的。”
但牛顿用事实证明了，人的大脑不但可以思考无穷这个概念，还可以用数学方法来表示它、测量它。关于无穷的概念，牛顿反反复复地思考了很久。无数次，他仿佛找到了正确的答案，但随即又在论证中推翻了自己的结论。接下来，他又一次次地重新思考，用新的定义和符号来推演这一概念。
困扰牛顿的问题之一是“极微量”，即比任何有限量都要小，但却不为零的量。面对这一问题，牛顿突然想到了“不可分割的量”，即将无数个极微量加在一起，或许能够形成有限量的点。这就引出了被零整除的矛盾，即“2÷0=2（1÷0）”。很显然，这个等式是没有任何意义的。但如果这里的“0”并不是一个真正意义上的零，而是一个无限接近于零的极微量或“不可分割的量”，这个等式不但成立而且还是有意义的。
牛顿在他的《杂录》中记下了这样一段话：
“一个球体到底可以有多大，数字大到多少就不能计算了？物质可以分解到什么程度？对于时间和延伸，我们可以想象到什么程度？这些都是未确定的，但是所有的延伸就是永恒，（a÷0）是无穷的。”
牛顿这段话中所说的“0”，便是他用来代表极微量的一个符号。就这样，被牛顿称为“流数术”的数学方法已经基本成型了。“流数术”是牛顿首创的，也就是后来被称之为“微积分”的数学分支。
（三）
微积分是现代自然科学与工程技术中一种基本的数学工具。今天，它已经成为普通高等学校中必修或者选修的一门普通基础课程。但在牛顿生活的时代，这还是一项显得有些高深莫测的学问。
有了二项式定理的模糊概念之后，牛顿经常安静地坐在农场上的苹果树下，继续思考这一在常人看来十分枯燥的问题。现在，连小学生都知道：距离=速度×时间，速度=距离÷时间。不过，这是在非常理想的状态下得出的结果，即物体必须始终处于匀速运动状态之中。但在现实生活中，根本就没有始终保持均匀运动的物体。实际上，物体运动的速度大都处于不断变化之中，是一个变量而不是常量。
一般情况下，物体运动的趋势可以概括为3种类型，即越来越快、越来越慢和忽快忽慢。一件从高处下落的物体，如从果树上掉往地上的苹果，运动速度便越来越快；水平或垂直向上扔一个物体，它的速度则会越来越慢。在另外一些情况下，如跑步的运动员或正在追赶老鼠的猫，其运动速度大多是忽快忽慢的。
非常明显，现实生活中的速度是一个非常复杂的变量，根本无法使用“速度=距离÷时间”这一等式来计算。正是基于这一点，牛顿在二项式定理的基础之上建立了微积分的计算方法。
牛顿已经意识到，时间的流逝是客观存在，它不会以任何事物为转移。同样，所有的物体都在一个客观存在的空间运动着，而这个空间也会以在空间里的任何物体为转移的。所有的变量都是物理量，而物理量和客观的岁月流逝有因变关系。牛顿把和时间有关的因变数称为流量，而把速度称为流数。在已知诸流量关系的情况下，求它们流数间的关系，这就是牛顿提出的微分法；已知一个包含流数在内的方程，求那些流数的流量间的关系，这是积分的基本问题。
牛顿是基于何种理论建立起微积分方法的呢？他认为，既然“速度=距离÷时间”这个等式在理想的状态下是正确的，那么，截取物体运动中某一瞬间，并考察它在这么短暂的时间内所移动的微小距离，速度不就等于距离和时间之间的商数了吗？当这一时间接近于无限短暂的时候，得出的速度就会无限接近于物体运动的实际速度。同样，与这一瞬间前后相邻的瞬时速度也可以计算出来。对它们的大小进行比较，自然就可以清楚地知道速度的变化率了，
微积分便是计算变量和变率的特殊的数学方法。由变量计算变率的，称为微分；由变率计算变量的，就是积分。微分和积分彼此成为一对逆运算，就好比是加法和减法、乘法和除法互为逆运算一样。
（四）
从历史发展的角度来考察牛顿创立微积分这件事情，人们会发现，微积分的创立并不是忽然从“无中生有”的。微积分的创立是一系列数学思想历经漫长岁月演变的结果。其实，早在牛顿以前，无数数学前辈就已对此做了大量有益的探索。
在古希腊时代，伟大的数学家毕达哥拉斯提出的关于“数”和“无限”这两个概念的定义中，就已经孕育着微积分学的思想方法；中国三国时代的数学家刘徽和南北朝时期的数学家祖冲之在计算圆的面积及圆周率等问题时，也涉及到了一些极限和微积分思想。但在随后的数千年间，这一数学工具的发展十分缓慢。
到17世纪上半叶，天文、光学与力学等自然科学飞速发展，然而为这些学科提供计算工具的数学却止步不前。科学家们都迫切地希望解决这一问题。几乎所有的大师们都开动他们智慧的头脑，整日里苦思冥想着如何才能找到合适的数学工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法。
牛顿是幸运的。在他来到人世之前或者稍后的一段时期内，这个问题有了新的进展。开普勒的旋转体积计算法、法国数学家费马（1601-1665）求极大极小值的方法、笛卡尔的解析几何及切线构造法以及沃利斯的分数幂积分等一系列前驱性的工作，都对求解各类具体无穷小问题作出了可贵的和有益的贡献。只不过，这些方法还缺乏普遍性和一般性，暂时不能完全满足当时科学的普遍需要。
这项具有历史性的伟大工作似乎专门在等待着牛顿来完成。站在巨人肩膀之上的牛顿能够看得更高、更远，他把前行者们分散的努力综合在一起，形成了一股巨大的合力；他把自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分与积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的，也是最关键的一步。
这位伟大的科学家完成了一项成就空前的研究工作，但他自己并没有意识到这项工作的重要性。除了在《杂录》上将计算方法记录了下来，并将手稿交给几个朋友传阅之外，他对这项具有开天辟地意义的重大成就保持了沉默。
这很有可能是因为当时瘟疫横行，出版业又不发达，牛顿想发表二项式定理和“流数术”并不容易。也有可能是他的思想在当时还不甚成熟，而牛顿自小养成的孤僻性格又使他非常害怕被攻击，无论这种攻击是身体上或是心理上。他一辈子都试图小心翼翼地生活，不去招惹任何人。或许，正是因为害怕被科学界攻击，他才采取了沉默的态度。事实上，他确实通常将新发现藏在自己的肚子里，不到迫不得已的时候绝不说出来。
但历史的发展往往令人无法理解。牛顿害怕被麻烦找到，但麻烦却偏偏十分喜欢与他相伴。他的这一谨慎，在多年之后给他带来了一次不小的麻烦。当然，刚刚发明微积分方法的牛顿根本无法预测未来发生的事情。