又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为pq为既约分数。
把2=pq两边平方，得：2=p2q2
即2q2=p2
由于2q2是偶数，p必定为偶数，设p=2m
由2q2=4m2
得q2=2m2
同理q必然也为偶数，设q=2n。
既然p和q都是偶数，它们必有公因数2，这与前面假设pq是既约分数矛盾。这个矛盾是由假设2是有理数引起的。因此2不是有理数，而应该是无理数。
无理数可以用线段长度来表示。下面是在数轴上确定某些无理数位置的方法，其中2，3，5……都是无理数。具体做法是：
在数轴上，以原点O为一个顶点，以从O到1为边作一个正方形。根据勾股定理有：
OA2=12+12=2
OA=2
以O为圆心，OA为半径画弧与OX轴交于一点，该点的坐标为2，也就是说在数轴上找到了表示2的点；以2点引垂直于·X轴的直线，与正方形一边的延长线交于B，同理可得OB=3，可在数轴上同法得到3。还可以得到5，6，7，等等无理数点。
也可以用作直角三角形的方法，得到表示，2，3，5等无理数的发现。
有理数与无理数合称实数。初中阶段遇到的数都是实数。今后还要陆续学到许多无理数，如e，sin10，log10等等。
虚数的发现
从自然数逐步扩大到了实数，数是否“够用”了？够不够用，要看能不能满足实践的需要。
在研究一元二次方程x2+1=0时，人们提出了一个问题：我们都知道在实数范围内x2+1=0是没有解的，如果硬把它解算一下，看看会得到什么结果呢？
由x2+1=0，得x2=-1。
两边同时开平方，得x=±-1（通常把-1记为i）。
-1是什么？是数吗？关于这个问题的正确回答，经历了一个很长的探索过程。
16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了-1，对它还进行过运算。
17世纪法国数学家和哲学家笛卡儿把-1做”虚数”，意思是“虚假的数”、“想像当中的，并不存在的数”。他把人们熟悉的有理数和无理数叫做“实数”，意思是”实际存在的数”。
数学家对虚数是什么样的数，一直感到神秘莫测。笛卡儿认为：虚数是“不可思议的”。大数学家莱布尼兹一直到18世纪还以为“虚数是神灵美妙与惊奇的避难所，它几乎是又存在又不存在的两栖物”。
随着数学研究的进展，数学家发现像-1这样的虚数非常有用，后来把形如2+3-1，6-5-1，一般地把a+b-1记为a+bi，其中a，b为实数，这样的数叫做复数。
当b=0时，就是实数；
当b≠0时，叫做虚数。
当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
虚数作为复数的一部分，也是客观存在的一种数，并不是虚无飘渺的。由于引进了虚数单位-1=i，开阔了数学家的视野，解决了许多数学问题。如负数在复数范围内可以开偶次方，因此在复数内加、减、乘、除、乘方、开方六种运算总是可行的；在实数范围内一元n次方程不一定总是有根的，比如x2+1=0在实数范围内就无根。但是在复数范围内一元n次方程总有几个根。复数的建立不仅解决了代数方面的问题，也为其他学科和工程技术解决了许多问题。
自然数、整数、有理数、实数、复数，人类认识的数，在不断地向外膨胀。
随着数概念的扩大，数增添了许多新的性质，但是也减少了某些性质。比如在实数范围内，数之间是可以比较大小的，可是在复数范围内，数之间已经不能比较大小了。
所谓能比较大小，就是对于规定的“>；”关系能满足下面四条性质：
（1）对于任意两个不同的实数。a和b，或a>；b，或b>；a，两者不能同时成立。
（2）若a>；b，b>；c，则a>；c
（3）若a>；b，则a+c>；b+c
（4）若a>；b，c>；0，则ac>；bc
对于实数范围内的数，“＞”关系是满这四条性质的。但对于复数范围内，数之间是否能规定一种“＞”关系来满足上述四条性质呢？答案是不能的，也就是说复数不能比较大小。
为了证明这个结论，我们需要交待复数运算的部分内容，证明中要用到它：
（1）-1*-1=-1-1+0=0
1*0=0
（1）*（1）=-1
-1+（1）=0
0+（1）=1
（2）复数中的实数仍按实数的运算法则进行运算。
现在用反证法证明复数不能比较大小。假设我们找到了一种“＞”关系（注意：“＞”关系不一定是实数中规定的含义）来满足上述四条性质。当然对于-1应具有性质（1）：
-1＞0或0＜-1
先证明-1＞0不可能。
-1＞0的两边同乘-1，由性质（4）得：
-1+-1＞-1+0
-1＞0
（注意：由于“＞”不一定是实数各规定的含义，故未导出矛盾。）-1＞0的两边同加1，由性质（3）得：
-1+1＞0+1
0＞1
-1＞0的两边同乘-1，由性质（4）得：
（-1）+（-1）＞（-1）+0
1＞0
于是得到0＞1，而且1＞0，也就是0与1无法满足性质（1），这与假设形成矛盾，所以-1＞0是不可能的。
其次证明0＞-1不可能。
0＞-1的两边同加1，由性质（3）得：
0+（1）＞-1+（1）
1＞0
1＞0的两边同乘1，由性质（4）得：
（1）+（1）＞（1＞）+0
-1＞0
以下可依第一种情况证明，导出矛盾，所以0＞-1不可能。
以上证明从复数中取出两个数-1与0是无法比较大小的，从而证明了复数没有大小关系。
复数无大小，听来新鲜，确是事实！
函数的发现
函数概念最初产生于17世纪，这首先应归功于解析几何的创始人法国数学家笛卡儿，但是，最早使用“函数”一词的却是德国数学家莱布尼茨。尽管人们早已在不自觉地使用着函数，但究竟什么是函数，在很长一个时期里并没有形成一个很清晰的概念。大数学家欧拉曾认为“一个变量的函数是一解析表示，由这个变量及一些数或常量用任何规定方式结合而成”。与此同时，欧拉把“用笔画出的线”也叫做函数。到了19世纪，函数概念进一步发展，逐渐发展为现代的函数概念，俄国数学家罗巴切夫斯基最早较为完整地叙述了函数的定义，这时已经非常接近于当今在中学数学课本中所看到的定义了。现代意义上的函数是数学的基础概念之一。在物质世界里常常是一些量依赖于另一些量，即一些量的值随另一些量的值确定而确定。函数就是这种依赖关系的一种数学概括。一般地，非空集合A到B的对应集为函数（或映射），如果f满足：对任意A中元素a，在B中都有一个元素［记为f（a））］与a对应。
函数在人们的日常生活中是很常见的，比如经常会看到类似这样的统计数字：某护士每小时量一次病人的体温，可以将6小时所得的结果制成下表：小时123456温度371℃38℃37℃39℃38℃372℃这就是一种函数关系。函数关系不一定很有规律，当然也不一定非得用规则的表达式表示出来，实际上，更多的函数是不能用表达式表示出来的。在中学阶段，同学们主要学习的函数都是非常简单和有规律的，比如初中学习的正比例函数（y=kx，k≠0）、反比例函数（y=kxk≠0）、一次函数（y=kx+b，k≠0）和二次函数（y=ax2+bx+c，a≠0）。函数可以用图像直观地表示出来，我们经常看到用“直方图”表示的函数。
在学习过程中，同学们更多地使用“描点法”来描绘函数的图像，即将满足函数方程的点逐一在直角坐标系中描绘出来，从而得到函数的图像。数与形的结合是研究函数的有效的手段。
代数式与多项式的发现
用字母来代替数是数学从算术发展到代数的重要标志。比如，用R表示一个圆的半径，那么πR2就表示这个圆的面积；如果分别用a、b表示直角三角形的两个直角边，则该三角形的面积就是12ab。一般地，我们把用加、减、乘、除、乘方、开方等数学符号联结在一起的表示数的字母组成的式子称为代数式。一个数或一个字母也叫做代数式，比如πR2，12ab，x，a等。代数式中的字母一般可以任意取值，用给定数值代替代数式里的字母所得到的结果，叫做代数式的值。比如a=1，b=2时，12ab=1。
代数式可以分成很多种，没有加减符号联结的代数式叫单项式，比如x，3y等；有加减号联结的代数式称为多项式，比如2x+1，3x2-x+1等。一般地，形如anx2+an-1xn-1+…+a1x+a0的代数式称为关于x的一元n次多项式（n为非负整数，an≠0）。aixi，为多项式的i次项，ai称为i次项的系数。在小学阶段，学生们钻研最多的是一元二次多项式，比如2x2+3x+1等。代入一元n次多项式后所得代数式的值为0的x的值，称为多项式的根。关于多项式根的研究在数学史上曾经持续了好几百年，法国数学家伽罗瓦（1811年～1832年）在这方面做出了杰出贡献，开创了现代代数学。关于多项式根的研究目前仍然是数学家们关注的热点。
韦达定理的发现
数学在许多人眼里是很抽象，复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更加理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引。韦达定理就很好地反映了数学这一特点。
韦达定理是以16世纪法国数学家韦达的名字命名的。韦达定理通过揭示多项式根与系数的关系反映了多项式根的问题的基本特征，是多项式理论中的关键定理之一。在中学阶段学生们比较熟悉的是关于二次多项式的韦达定理，即对于ax2+bx+c（a≠0）来说，若它的两个根是x1和x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca。利用这种关系可以不求根而直接用系数表达出关于x1、x2的某些对称式的值，比如：
1x1+1x2=x1+x2x1x2=-baca=-bc等。
韦达在三角学、代数学上也颇多建树，特别在代数符号体系的建立上有突出贡献。
三角函数表的来历
早期的三角学是伴随着天文学而产生的。大家熟知，把周角分成360等份，每一份就叫做1度的角。这种做法起源于古代巴比伦人。他们为了建立历法，把圆周分成360等份，就相当于把周角分成360等份。为什么要把圆周分成360等份？有几种解释。有人认为巴比伦人最初以360天为一年，将圆周分为360等份，太阳就每天行一“等份”。另一种意见认为巴比伦人很早就知道每年有365天，所以上面的说法是不可信的。较多的数学史家认为，比较起来，下面的说法似乎更有道理。在古巴比伦时代，曾有一种很大的距离单位——巴比伦里，差不多等于现在的英里的7倍，由于巴比伦里被用来测量较长的距离，很自然，它也成为一种时间单位，即走一巴比伦里所需的时间。后来，在公元前1000年内，当巴比伦天文学达到了保存天象系统记录的阶段时，巴比伦“时间里”，就是用来测量时间长短的。因为发现一整天等于12个“时间里”，并且一整天等于天空转一周；所以，一个完整的圆周被分成12等份。但是为了方便起见，把巴比伦“时间-里”分成30等份，于是，便把一个完全的圆周分为12×3=360等份。
后来，每一等份变成了“度”。“度”是来自拉丁文，原来是“步”、“级”的意思。
三角学的最早奠基者是古希腊天文学家依巴谷。为了天文观测的需要，他作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，就是在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表。相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这表没有保存下来。
托勒玫是古代天文学的集大成者。他继承、发展了前贤特别是依巴谷的成就，汇编了《天文集》。按照托勒玫的说法和用法，依巴谷采用了巴比伦的60进位制：把圆周分为360°，从而圆弧所对的圆心角就有了度量；把半径分成60等份，这样就可用半径的多少等份来表示圆心角所对的弦长，即用半径的160作为度量弦长的单位。例如60°角所对的弦长就是圆内接正六边形的一边之长，应该是60个单位，相当于现在30°角的正弦是12；90°角所对的弦长是圆内接正方形一边之长，应该是602个单位。
为了提高计算弦长的精确程度，托勒玫把半径分为60等份后，又把每一份分为60小份，每一小份再按60进位制分为更小的份，以此类推。把这些小份依次叫做“第一小份”、“第二小份”。后来“第一小份”变成了”分”（minute），“第二小份”变成了“秒”（second），这就是“分、秒”名称的来源。现在英文里minute这个字仍然有“分”和“微小”两种意义，Second这个字有“秒”和“第二”两种意义。
用“°”“′”“″”表示度、分、秒，是1570年卡拉木开始的。这已在托勒玫之后1400年了。
托勒玫是在托勒玫定理的基础上，按下面方法造出弦表的。