勾股定理的发现
1995年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成，这张邮票是为了纪念两千多年前古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理而发行的。邮票中下面的正方形分成了25个小正方形，上面两个正方形，一个分成16个小正方形，另一个分成9个小正方形。每个小正方形面积都相等。9+16=25，说明上面两个正方形的面积和等于下面大正方形的面积。从另一个角度看，这三个正方形的边围成了一个直角三角形，该直角三角形三边长分别是3，4，5。由32=9，42=16，52=25可知，这个直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，这就是著名的勾股定理。
传说，有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，客人们高谈阔论，又吃又喝，惟独毕达哥拉斯独自一个人望着方砖地发愣。他用棍在地上勾出一个图形，中间有一个直角三角形ABC。在直角三角形ABC的每条边上，都有一个正方形，BC2等于正方形BCDE的面积，正方形BCDE是由两黑两白四个三角形组成的。AB2等于正方形ABFG的面积，它由两个黑色三角形组成。同样AC2等于正方形ACHM的面积，它也由两个黑色三角形组成。由于白三角形和黑三角形面积相等，因此有DEBC的面积=ABFG的面积+ACHM的面积。也就是AB2+AC2=BC2。
方砖地的启示使毕达哥拉斯得到了勾股定理。毕达哥拉斯认为这个定理太重要了，他所以能发现这个重要定理，一定是“神”给予了启示，于是他下令杀100头牛祭祀天神，起名为“百牛定理”，也叫做“毕达哥拉斯定理”。
其实，这个定理不独是毕达哥拉斯发现的。下面，介绍两千多年前我国周代人测日高的方法，你会发现我国是最早使用勾股定理的。
由于受科学水平的限制，周代人还不知道地球是圆的，认为地面就是一个大平面。他们于农历夏至时在地面上立一根8尺长的标杆，测量出标杆的影子长度为6尺。又假设把标杆每向南移动500千米，日影就要缩短一寸。由于标杆的影长为6尺，如果我们把标杆连续向南移动60个一千里（1里=500米），即6万里的话，标杆的影长就缩短为零了，这时标杆就跑到了太阳的正下方。
由△ADE～△ABC，得
DEBC=ADAB
DE=BC×ADAB=8×66=8（万里）
这样就求出了太阳的高度为8万里。
以上求法最早见于我国的《周髀算经》，该书记载了两千多年前我国在数学和天文学方面的许多重要成就，内容十分丰富。书中除了求出了太阳距地面的垂直高度为8万里，还进一步求出了太阳到A点的距离AE：
AE=ED2+AD2
=62+82=10（万里）
就是说太阳到测量地点的距离为10万里。
《周髀算经》中把太阳高度ED叫做“股”，把AD叫做“勾”，斜边AE叫做“弦”，得到关系式勾2+股2=弦2，也就是AE2=ED2+DA2，这就是著名的“勾股定理”。勾股定理给出了直角三角形三条边的确定关系。勾股定理的发现是我们的祖先对数学的一大贡献。
日高八万里对不对呢？不对。现代测得太阳光大约需要8分钟才能到达地球。光每秒钟走30万千米，8分钟是480秒，由此可算得太阳到地球的距离大约等于30×480=14000（万千米），即144亿千米。8万里合4万千米，与144亿千米相差太大了。周代人错在哪里呢？（一）“假设标杆向南移动500千米，日影缩短一寸”是错误的；（二）大地是个球面，但周代人把它看成了平面，这也是错误的。但是他们所使用的数学原理却是完全正确的。
“勾股定理”用语言叙述是：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。或说成“勾方加股方等于弦方”。勾股定理的逆定理也是对的，即“在一个三角形中，如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角必定是直角。”这个逆定理也早就被古埃及人发现了，他们利用这个定理来做直角。方法是取三边分别为3，4，5（长度单位不限）构成一个三角形，长边所对的角就是直角。
古埃及定直角的方法至今还在许多地方使用着。比如盖房子时先要定好地基，地基多是长方形的。怎样检查地基所划出的长方形每个角都是直角呢？在长方形的各个顶点插上木棍，圈上绳子。另取一段绳子EF，组成一个三角形AEF（如图），测量AE，AF，EF的长度，计算它们是否符合EF2=AE2+AF2如果符合，则∠A是直角；如果不符合，则∠A不是直角，还需要调整。
是不是只有3，4，5才能满足勾股定理呢？显然不是，比如5，12，13也满足勾股定理，算一算：52=25，122=144，132=169。
∵25+144=169
∴52+122=132
人们把满足a2+b2=c2的一组数a，b，c叫做“勾股数”。
勾股数组
在我国古代的数学著作——《周髀算经》中，第一篇就有“勾三股四弦五”。所谓勾和股，是指直角三角形的两个直角边，而弦是指它的斜边。“勾三股四弦五”是对勾股定理的一种描述。所谓勾股定理，就是直角三角形斜边上的正方形的面积，等于两条直角边上正方形面积的和。这个定理在有些国家被称为毕达哥拉斯定理。
直角三角形的三边，除了可以为3、4、5外，还有很多其他的情况，例如5、12、13，8、15、17等。而这些数组，也就是满足方程x2+y2=z2的正整数组（x，y，z），被称为勾股数组。由于方程x2+y2=z2有三个未知数，有无数组解，因此这种方程也叫不定方程。显然，如果（x，y，z）是一组勾股数，那么（kx，ky，kz）也一定是一组勾股数。反之，如果x、y有公约数d，那么，d也一定是z的约数。也就是说，它们之间的公约数一定相等。因此，通常我们只考虑x、y、z两两互素的情况。
那么，x、y、z之间有什么关系呢？也就是说，怎样来构造一组勾股数组呢？
公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯的方法是：任取一个奇数，再把它的平方数分成相差为1的两个数，这三个数就是一组勾股数组。也就是说，先取奇数2x+1，再把它的平方数4x2+4x+1，分成为2x2+2x和2x2+2x+1两个数，那么2x+1、2x2+2x、2x2+2x+1就是一组勾股数组。例如67、2244、2245。
公元1世纪，在《九章算术》中有一个更为巧妙的方法：如果给了两个数m、n，那么12（m2-n2）、mn、12（m2+n2）就是一组勾股数组。例如当m=7，n=3时，就得出20、21、29；当m=5，n=3时，就得出8、15、17。公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法证明了这个公式。
公元3世纪，希腊数学家丢番图提出的公式是：2mzm2+1、m2mzm2+1-z、z。如果令m=uv，z=u2+v2，那么，就得到2uv、u2-v2、u2+v2。你看出来了吗，它和《九章算术》的公式只差一个系数2；而毕达哥拉斯的公式也正是这个公式的一个特殊情况：u=z+1，v=z。
那么，随便给两个数m、n或u、v，用上面的公式，是不是能把所有的两两互素的勾股数组都构造出来呢？当然不行。但是，如果我们把m、n或u、v加以限制，也就是说，如果m、n是两个互素的奇数，那么，用《九章算术》的那个公式，就可以造出全部两两互素的勾股数组，因此，我们可以把它们叫做方程x2+y2=z2的通解公式。当然，对于同一组勾股数，可以用不同的公式求得。
仔细观察勾股数组，我们还可以发现：它们总是具有一定的奇偶关系，也就是二奇一偶。事实上，如果x、y、z是一组两两互素的勾股数，那么x、y必定一奇一偶，z必为奇数。为什么会是这样呢？请你自己作一个证明。
什么是“贾宪三角”
公元1261年，我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排列起来的三角阵（如下页图），由于引用了贾宪著的《开方作法本源》和“增乘开方法”，因此这个三角阵就叫做“贾宪三角”。在欧洲，这一三角形叫做帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年研究出来的，比贾宪迟600年。
那么，贾宪三角有什么用呢？
贾宪三角中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后，展开式中各项的系数。譬如（a+b）1=a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；……根据这个三角阵图，我们还可以知道（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6。
表中第一行，也有它的意义，只要a+b≠0，（a+b）0=1。
仔细观察这一三角阵，我们可以发现它排列的规律：每下一行的数比上一行多1个，两边都是1，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和。按照这一规律，我们就可以将这一三角阵继续写下去，并得到我们所需要的二项式展开式的系数。
那么，最初这一三角阵又是如何构造出来的呢？据史书记载，贾宪的方法是“增乘法”。所谓“增乘”是“以加求乘（方）”的意思。例如，要造一张具有八行的“贾宪三角”，先造下面的数表：
111111117654321211510631352010413515512161711上表是依照下面三条规则造出来的：（1）第一行是8个1；（2）第二行起每行比上一行少左边的一个数；（3）每一行从右边开始逐个数相加到某个数（只要这个数不是左边第一个数）所得到的和写在这个数的正下方（例如，第三行右边4个数相加1+3+6+10所得到的和20便是第四行右边第四个数）。
把由“增乘法”得到的上述数表整个地按逆时针方向旋转45°，便得到八行的“贾宪三角”。
与“增乘法”类似的还有“增开方法”，可以用于解数字系数的高次方程。
16岁的巴斯卡发现几何定理
法国著名数学家、哲学家笛卡儿看到16岁少年巴斯卡所写的一个定理后十分惊讶，他不敢相信巴斯卡小小年纪能如此出色地发现这么重要的几何定理。笛卡儿摇着头说：“16岁的少年不会发现这个定理！”
德国著名数学家、微积分创立人之一的莱布尼兹说过：“当我读到巴斯卡的著作，使我像触电一样，突然悟到了一些道理。”
笛卡儿所说的定理，是以巴斯卡的名字命名的几何定理。其内容是：
若一个六边形内接于一圆（更一般是圆锥曲线），则每两条对边相交而得到三个点在同一条直线上。
例如，六边形ABCDEF内接于圆·，对边AF和CD延长线交于Q，同样AB和DE交于P，FF和BC交于R，交点P、Q、R位于同一条直线上。如果六边形的对边两两平行，比如正六边形怎样办？这时认为平行的对边交于无穷远点，那么三个无穷远点P、Q、R将位于同一条无穷远线上。
后来，数学家就把这个定理叫“巴斯卡定理”。把P、Q、R所在的直线叫做“巴斯卡直线”或“巴斯卡线”。
数学上，把几个特殊点在一条直线上的问题叫“共线问题”。由于两点决定一条直线，因此，三个以上的点共线都需要证明。历来的数学家都很重视共线问题。巴斯卡本人从“巴斯卡定理”出发推出了几百条推论。
下面是两个著名的共线问题：
“三角形的重心、垂心和外心共线。这条直线叫欧拉线。”
此定理叫做欧拉定理。
三角形的三条中线交于一点叫三角形的重心，三条高线交于一点叫三角形的垂心，三条边的垂直平分线交于一点叫三角形的外心。上述的欧拉定理告诉我们，这三个点共线。
欧拉定理和欧拉线在几何中占有很重要的地位。下面介绍另一个常用的共线定理，叫做梅涅劳定理。梅涅劳是公元1世纪希腊数学家兼天文学家。
“在三角形三条边上（或延长线上）各取一点，这三点共线的充分必要条件是三个特定的比的乘积等于1。”
例如，X、Y、Z是△ABC三边BC、CA、AB或其延长线上的点，则它们共线的充分必要条件为XBXC·YCYA·ZAAB=1梅涅劳定理对证明共线问题很有用途。但是这个定理后来被人们遗忘了，直到1678年才由意大利数学家兼水力工程师塞瓦重新发现。所以，这个定理有时也叫“塞瓦定理”。
数学王子与匈牙利少年不谋而合的发现
尽管《几何原本》得到后人很高的评价，但是人们对它也不是毫无保留。
早在古希腊时期，就有人对《几何原本》中的第五公设产生怀疑，认为第五公设并不像其他几个公设和公理那样显而易见。把第五公设作为不证自明的真理，使人们不容易接受。
第五公设如果不作为公理，它就应该作为定理可以从其他公理中推证出来。两千年来，许多著名的数学家都参加了证明第五公设的大军，呕心沥血证明第五公设。不少数学家兴高采烈地宣布自己已经证明了第五公设。但是没过多久就有人指出他的证明中有错误，结论不能成立。
直到18世纪，这个问题才有了突破。第一个从证明第五公设大军中觉悟过来的，是德国著名数学家、被誉为“数学王子”的高斯。